已知椭圆的焦点在坐标轴上,直线l:y=-x+1经过椭圆的右焦点且与椭圆相交于A,B两点

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/11 18:42:24

已知椭圆的焦点在坐标轴上,直线l:y=-x+1经过椭圆的右焦点且与椭圆相交于A,B两点
线段AB的中点为M,直线l与OM所夹得锐角大小为arctan3,求椭圆方程

由题意可知椭圆的焦点在x轴上,
因为直线l:y=-x+1经过椭圆的右焦点
所以令y=0,代入直线方程y=-x+1得：x=1
即椭圆的右焦点坐标为(1,0),则c=1
又设直线l：y=-x+1的倾斜角为α,直线l与OM所夹得锐角为β
则直线OM的倾斜角为α－(π－β)=α+β－π （画草图辅助判断所得）
且易知tanα=-1,β=arctan3即tanβ＝3
所以tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1－tanα*tanβ)=1/2
则直线OM的斜率k(OM)=tan(α+β－π)=tan(α+β)=1/2
又直线OM过原点,则直线OM的方程可写为：y=(1/2)*x
联立直线l与直线OM方程：
y=-x+1,y=(1/2)*x
易解得x=2/3,y=1/3
即两直线交点M的坐标为（2/3,1/3）
又设椭圆方程为mx² +ny²=1 (n>m>0)
且设直线l与椭圆的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)
则有：mx1² +ny1²=1,mx2² +ny2²=1
两式相减可得：
m(x1+x2)(x1-x2) +n(y1+y2)(y1-y2)=0 （×）
因为点M是线段AB中点,所以由中点公式可得：
x1+x2=4/3,y1+y2=2/3
则（×）式可化为：
m*(4/3)*(x1-x2)+n*(2/3)*(y1-y2)=0
即2m*(x1-x2)＝－n*(y1-y2)
所以斜率k(l)＝(y1-y2)/(x1-x2)=-2m/n=-1
即得2m=n
又a²=1/m,b²=1/n且c²=a²-b²=1
则1/m -1/n=1
1/m -1/(2m)=1
即1/(2m)=1
解得m＝1/2,n=2m=1
所以椭圆方程为：
x²/2 +y²=1

设椭圆X^2/4+Y^2/3=1的右焦点为F,经过点F的直线L与椭圆相交於A,B两点,与椭圆的右准线相交於点C 且向量A 已知椭圆的方程为x^2/5+y^2=1,过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l,交椭圆于A,B两点.1.设点M(m,0 已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆与直线x+y=1相交于A,B两点,且AB=2√2,连结AB的中点与原点的直线斜率为√ 已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆与直线x+y=1相交于A,B两点,且AB=2√2,连结AB的中点与原点的直线斜已知椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在X轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A,B两点,向量OA+OB与向量a=( 经过椭圆x²/4+y²=1的右焦点F1柞倾斜角为45°的直线l ,直线l 与椭圆相交于A、B两点则| 已知椭圆x^2/4+y^2/3=1的左右焦点分别为F1F2,一条直线L经过F1与椭圆交于A,B两点. 已知椭圆中心为坐标原点O,焦点在x轴上,斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A,B两点.向量OA+向量OB与向量a(3, 已知椭圆E中心在原点O,焦点在X轴上,其离心率e=根号（2/3）,过C(-1,0)的直线L与椭圆E相交于A,B两点,且满已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,直线y=x+1与该椭圆相交于P,Q两点,且OP⊥OQ,∣PQ∣=,求椭椭圆和向量中的定值已知椭圆的中心为坐标原点O.焦点在x轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A.B两点,OA向量+ 已知椭圆x^2/2 y^2=1右焦点f,直线l经过点f,与椭圆交于a,b且|ab|=4倍的根号2/3,（1）求直线l的方