作业帮一道需要用导数解答的数学题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/09 17:09:53
一道需要用导数解答的数学题
已知函数f(x)=a(x^3-x)在区间(（-3^1/2)/3,(3^1/2))内是减函数,求a的范围.
其实这道题不难 我已经解答出来 但需要比较详细和正确的过程
已知函数f(x)=a(x^3-x)在区间(（-3^1/2)/3,(3^1/2))内是减函数,求a的范围.
其实这道题不难 我已经解答出来 但需要比较详细和正确的过程
f(x)=a(x³-x)=ax(x²-1)=ax(x+1)(x-1)
df/dx = 3ax²-a
Let df/dx = 0
So, 3x²=1, x = ±(根号3)/3
x₁= +(根号3)/3, y₁= -2a(根号3)/9,
x₂= -(根号3)/3, y₁= +2a(根号3)/9,
从f(x)=a(x³-x)=ax(x²-1)=ax(x+1)(x-1)
可以看出：
在-1与0之间有一个极大值点,就是(-(根号3)/3,+2a(根号3)/9)
在0与+1之间有一个极小值点,就是(+(根号3)/3,-2a(根号3)/9)
也就是[-(根号3)/3,+(根号3)/3,]是减区间.
a > 0 即可.
若 a < 0, 结论相反.
说明: a的正负决定图像的开口性,a的大小决定极值点的幅度.
所以,本题(（-3^1/2)/3,(3^1/2))内是减函数有误,
应该是(（-3^1/2)/3,(3^1/3))内是减函数
或是 (（-3^1/2)/3,(3^1/4))内是减函数.
df/dx = 3ax²-a
Let df/dx = 0
So, 3x²=1, x = ±(根号3)/3
x₁= +(根号3)/3, y₁= -2a(根号3)/9,
x₂= -(根号3)/3, y₁= +2a(根号3)/9,
从f(x)=a(x³-x)=ax(x²-1)=ax(x+1)(x-1)
可以看出：
在-1与0之间有一个极大值点,就是(-(根号3)/3,+2a(根号3)/9)
在0与+1之间有一个极小值点,就是(+(根号3)/3,-2a(根号3)/9)
也就是[-(根号3)/3,+(根号3)/3,]是减区间.
a > 0 即可.
若 a < 0, 结论相反.
说明: a的正负决定图像的开口性,a的大小决定极值点的幅度.
所以,本题(（-3^1/2)/3,(3^1/2))内是减函数有误,
应该是(（-3^1/2)/3,(3^1/3))内是减函数
或是 (（-3^1/2)/3,(3^1/4))内是减函数.