作业帮一道数学平面几何体,关于圆
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 01:00:51
一道数学平面几何体,关于圆
圆O1与圆O2内切于点P,圆O1的弦AB切圆O2于C,若PC交圆于点G,PA、PB分别交圆O2于点E、F,EF交PC于点D,AD交圆O1于点H.求证：G、F、H三点共线
圆O1与圆O2内切于点P,圆O1的弦AB切圆O2于C,若PC交圆于点G,PA、PB分别交圆O2于点E、F,EF交PC于点D,AD交圆O1于点H.求证：G、F、H三点共线
设圆O1的半径为R,O2半径为r,由题意,R＞r
连O1B,O2F,则显然△PFO2∽△PBO1
所以PF/PB=O2F/O1B=r/R
同理PE/PA=r/R,所以PF/PB=PE/PA,所以EF//AB
又AC^2=AE*AP BC^2=BF*BP,所以(AC/BC)^2=(AE/BF)(AP/BP)=(AP/BP)^2
所以AC/BC=AP/BP,由内角平分线定理,PG平分∠APB
所以∠AHG=1/2∠APB
又∠HDF=∠HAB=∠HPB,所以HPDF共圆
所以∠AHF=∠GPB=1/2∠APB
所以∠AHF=∠AHG,所以HFG三点共线得证
连O1B,O2F,则显然△PFO2∽△PBO1
所以PF/PB=O2F/O1B=r/R
同理PE/PA=r/R,所以PF/PB=PE/PA,所以EF//AB
又AC^2=AE*AP BC^2=BF*BP,所以(AC/BC)^2=(AE/BF)(AP/BP)=(AP/BP)^2
所以AC/BC=AP/BP,由内角平分线定理,PG平分∠APB
所以∠AHG=1/2∠APB
又∠HDF=∠HAB=∠HPB,所以HPDF共圆
所以∠AHF=∠GPB=1/2∠APB
所以∠AHF=∠AHG,所以HFG三点共线得证