请证明抛物线的一个几何性质：过抛物线y2=4x (y的平方）的焦点F任作直线l与抛物线交于A,B两点,则在x

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/13 08:54:12

请证明抛物线的一个几何性质：过抛物线y2=4x (y的平方）的焦点F任作直线l与抛物线交于A,B两点,则在x轴上存在定点M（-1,0）,使直线MF始终是角AMB的平分线向量法坐标法我会用,我要的是几何证明法,最好能配上图,做了图发邮箱也行cookiedale@163.com 重谢!

设A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)
1°
若直线AB斜率不存在,那么AB⊥MF
由对称性,显然MF平分∠AMB
2°
若直线AB斜率为k (k≠0)
由于F (1,0)在AB上,所以AB的方程为
y=k(x-1)
联立直线、抛物线方程,消去y,得到
k^2 x^2-(2k^2+4)x+k^2=0
所以
x_1+x_2=2+4/k^2
x_1•x_2=1
易知直线AM、BM的方程为
AM:(x_1+1)y-y_1 x-y_1=0
BM:(x_2+1)y-y_2 x-y_2=0
O到AM、BM的距离
d_1=(|-y_1 |)/√((x_1+1)^2+〖y_1〗^2 )
d_2=(|-y_2 |)/√((x_2+1)^2+〖y_2〗^2 )
欲证明MF平分∠AMB,只需证明MO是∠AMB的平分线
只需证明d_1=d_2
将〖y_1〗^2=4x_1,〖y_2〗^2=4x_2代入,并整理,
即证
(1-1/(x_1 x_2 ))(x_1-x_2 )=0
由于x_1• x_2=1,所以上式成立
原命题得证.

关于抛物线的题!已知过抛物线y2(y平方）=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点,过原点O作向量AM,使向量AM垂直于已知直线l通过抛物线x平方=4y的焦点F,且与抛物线交于A、B两点,分别过A、B两点的抛物线的两条切线相交于点M,则角A 抛物线y^2=4x的焦点为f,过f的直线交抛物线于a（x1,y1),b(x2,y2)两点,则y1y2/x1x2= 过抛物线y2=8x的焦点F作倾斜角是34π的直线，交抛物线与A，B两点，则|AB|=（　　）过抛物线y=4x^2的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若y1+y2=5 已知抛物线y平方=8x,直线l过抛物线的焦点F,且倾斜角为45,直线l与抛物线交于CD两点, 已知抛物线C：x^2=4y的焦点为F,经过点F的直线l交抛物线于A、B两点,过A、B两点分别作抛物线的切线,设两切线的交过抛物线y2=4x的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，则OA•OB 过抛物线y^2=4x的焦点F的直线L与这条抛物线交于A.B两点,O为坐标原点过抛物线y2=4x的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点．高中数学问题已知抛物线C:X^2=4y的焦点为F,经过点F的直线L交抛物线于A,B两点,过A,B两点分别作抛物线的切线, 已知抛物线y^2=-4x的焦点为F,其准线与x轴交于点M,过M作斜率为K的直线l与抛物线交于A、B两点,弦AB的.