作业帮一道关于可导连续的高数题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/22 03:42:33
一道关于可导连续的高数题
设f(x)={(x-1)^a*cos(1/x-1),x不等于1；
0 x=1
这样一个分段函数,当a的值为_____时,f(x)在x=1处连续,当a的值为____时,f（x)在x=1处可导.
设f(x)={(x-1)^a*cos(1/x-1),x不等于1；
0 x=1
这样一个分段函数,当a的值为_____时,f(x)在x=1处连续,当a的值为____时,f（x)在x=1处可导.
分段函数连续,则有：
x→1时,lim(x-1)^a*cos(1/x-1)=0,即lim(x-1)^a=0,
所以a＞0时函数连续,（因为cos(1/x-1)是[-1,1]的有界函数,所以在这里可以抛开不讨论）
分段函数可导,则有：
根据导数定义式：x→1时,lim(x-1)^a*cos(1/x-1) / x-1=0
即x→1时,lim(x-1)^a/x-1=0
lim(x-1)^a-1=0
所以a＞1时,函数可导
x→1时,lim(x-1)^a*cos(1/x-1)=0,即lim(x-1)^a=0,
所以a＞0时函数连续,（因为cos(1/x-1)是[-1,1]的有界函数,所以在这里可以抛开不讨论）
分段函数可导,则有：
根据导数定义式：x→1时,lim(x-1)^a*cos(1/x-1) / x-1=0
即x→1时,lim(x-1)^a/x-1=0
lim(x-1)^a-1=0
所以a＞1时,函数可导