作业帮（2014•海南模拟）“无字证明”（proofs without words），就是将数学命题用简单
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：综合作业 时间：2024/05/28 15:04:44
（2014•海南模拟）“无字证明”（proofs without words），就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现．请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：______．在左边的图中大矩形的面积S=（cosβ+cosα）（sinβ+sinα）
=sinβcosβ+cosβsinα+cosαsinα+sinβcosα+sinαcosα=sin（α+β）+sinβcosβ+sinαcosα．
用大矩形的面积S减去4个直角三角形的面积就等于阴影部分的面积 S1 ．
空白部分的面积等于4个直角三角形的面积，即2×（
1
2sinβcosβ+
1
2sinαcosα）=sinβcosβ+sinαcosα．
故阴影部分的面积 S1 =S-sinβcosβ+sinαcosα=sin（α+β）．
而在右边的图中阴影部分的面积 S2 等于2个阴影小矩形的面积之和，即S2=sinαcosβ+cosαsinβ．
在右边的图中大矩形的面积也等于S，S2等于大矩形得面积S 减去2个小空白矩形的面积，
而2个空白矩形的面积之和，即sinβcosβ+sinαcosα，
故左图中空白部分的面积等于右图中空白部分的面积．
故左右图中阴影部分的面积也相等，即 S1 =S2 ，故有sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，
故答案为 sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．
=sinβcosβ+cosβsinα+cosαsinα+sinβcosα+sinαcosα=sin（α+β）+sinβcosβ+sinαcosα．
用大矩形的面积S减去4个直角三角形的面积就等于阴影部分的面积 S1 ．
空白部分的面积等于4个直角三角形的面积，即2×（
1
2sinβcosβ+
1
2sinαcosα）=sinβcosβ+sinαcosα．
故阴影部分的面积 S1 =S-sinβcosβ+sinαcosα=sin（α+β）．
而在右边的图中阴影部分的面积 S2 等于2个阴影小矩形的面积之和，即S2=sinαcosβ+cosαsinβ．
在右边的图中大矩形的面积也等于S，S2等于大矩形得面积S 减去2个小空白矩形的面积，
而2个空白矩形的面积之和，即sinβcosβ+sinαcosα，
故左图中空白部分的面积等于右图中空白部分的面积．
故左右图中阴影部分的面积也相等，即 S1 =S2 ，故有sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，
故答案为 sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．