作业帮如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出．设箱体的长度为
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/15 08:43:07
如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出．设箱体的长度为a米，高度为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料60平方米．问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）．
解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，
则y=
k
ab，其中k＞0为比例系数．依题意，即所求的a，b值使y值最小．
根据题设，有4b+2ab+2a=60（a＞0，b＞0），
得b=
30−a
2+a（0＜a＜30）．①
于是y=
k
ab
=
k
30a−a2
2+a=
k
−a+32−
64
a+2=
k
34−(a+2+
64
a+2)
≥
k
34−2
(a+2)•
64
a+2=
k
18，
当a+2=
64
a+2时取等号，y达到最小值．
这时a=6，a=-10（舍去）．
将a=6代入①式得b=3．
故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．
解法二：依题意，即所求的a，b的值使ab最大．
由题设知4b+2ab+2a=60（a＞0，b＞0），
即a+2b+ab=30（a＞0，b＞0）．
因为a+2b≥2
2ab，
所以2
2
ab+ab≤30，
当且仅当a=2b时，上式取等号．
由a＞0，b＞0，解得0＜ab≤18．
即当a=2b时，ab取得最大值，其最大值为18．
所以2b2=18．解得b=3，a=6．
故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．
则y=
k
ab，其中k＞0为比例系数．依题意，即所求的a，b值使y值最小．
根据题设，有4b+2ab+2a=60（a＞0，b＞0），
得b=
30−a
2+a（0＜a＜30）．①
于是y=
k
ab
=
k
30a−a2
2+a=
k
−a+32−
64
a+2=
k
34−(a+2+
64
a+2)
≥
k
34−2
(a+2)•
64
a+2=
k
18，
当a+2=
64
a+2时取等号，y达到最小值．
这时a=6，a=-10（舍去）．
将a=6代入①式得b=3．
故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．
解法二：依题意，即所求的a，b的值使ab最大．
由题设知4b+2ab+2a=60（a＞0，b＞0），
即a+2b+ab=30（a＞0，b＞0）．
因为a+2b≥2
2ab，
所以2
2
ab+ab≤30，
当且仅当a=2b时，上式取等号．
由a＞0，b＞0，解得0＜ab≤18．
即当a=2b时，ab取得最大值，其最大值为18．
所以2b2=18．解得b=3，a=6．
故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．
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