设数列{bn}满足b1=1/2,b(n+1)=(bn)^2+bn

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/11 00:41:03

设数列{bn}满足b1=1/2,b(n+1)=(bn)^2+bn
①求证：1/（bn+1）=（1/bn）-(1/b（n+1）)；若Tn=1/(b1+1)+1/（b2+1）+…+1/((bn)+1),对任意的正整数n,3Tn-log(2)(m)-5>0恒成立,求m的取值范围.
第一题用倒数我已经知道了,恩,主要是第二小问.

1.
b(n+1)=bn²+bn=bn(bn +1)
1/b(n+1)=1/[bn(bn +1)]=1/bn -1/(bn +1)
2.
对数有意义,m>0
b2=b1²+b1=(1/2)²+1/2=3/4
n=1时,b1=1/2>0,假设当n=k时,bk>0,则当n=k+1时,b(k+1)=bk²+bk>0
k为任意正整数,因此对于任意正整数n,bn恒>0,即数列各项均为正.
n=1时,b1 +1=1/2+1=3/2>1
假设当n=k时,bk+1>1,则当n=k+1时,
b(k+1)=bk(bk+1)>bk ×1=bk
1/bk -1/b(k+1)>0
k为任意正整数,因此对于任意正整数n,不等式恒成立,即数列{1/bn}单调递减
/以上为判断数列{1/bn}的单调性,为下面的过程做准备.
Tn=1/(b1+1)+1/(b2+1)+...+1/(bn+1)
=1/b1-1/b2+1/b2-1/b3+...+1/bn-1/b(n+1)
=1/b1 -1/b(n+1)
=1/(1/2)- 1/b(n+1)
=2- 1/b(n+1)
数列{1/bn}单调递减,随n增大,1/b(n+1)单调递减,2- 1/b(n+1)单调递增,当n=1时,2- 1/b2取得最小值,Tn取得最小值.此时,(Tn)min=2- 1/b2=2-1/(3/4)=2-4/3=2/3
3Tn-log2(m)-5>0
3Tn>log2(m)+5
要不等式对于任意正整数,不等式恒成立,只需要当Tn取最小值时,不等式成立.
log2(m)
再问：很好，很强大
再答：解此类不等式求常数的题目，如果不是可以递推的，绝大多数都是从单调性入手。

若数列bn满足b1=2,且bn+1=bn+2^n+n,求数列bn的通项公式. 已知数列bn,满足b1=1,b2=5,bn+1=5bn-6bn-1(n≥2）,若数列an满足a1=1,an=bn(1/b 已知数列{bn},满足b1=2,b(n+1)=2bn,(1)求数列{bn}的通项公式(2)是否存在自然数m使已知无穷数{bn}满足b1=1,bn+1-bn=(1/2)^n (n>=1),数列｛bn｝的通项公式是? 3.设数列{an}的前n项和Sn=2an-4(n∈N+),数列{bn}满足:bn+1=an+2bn,且b1=2.求{bn 已知数列bn满足b1=2,nbn+1=（n+1）bn+2（n属于正整数）.1,求通项公式bn.2,设bn的前n项和为Tn 已知数列bn满足bn=b^2n,其前n项和为Tn,求(1-bn)/Tn 设f(λ)=λ/(1+λ)(λ≠-1,0）.数列｛bn｝满足b1=1/2,bn=f(bn-1)注bn-1 n-1是角标n 急设A1=2,A2=4,数列Bn满足：Bn=A(n+1)-An,B(n+1)=2Bn +2 急设A1=2,A2=4,数列BN满足：Bn=A(n+1)-An,B(n+1)=2Bn+2 设a1=2,a2=4,数列｛bn｝满足：bn=a(n+1)-an,b(n+1)=2bn+2. 设A1=2,A2=4,数列{Bn}满足:Bn=A(n+1) –An,B(n+1)=2Bn+2.