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已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交与A、B两点,与y轴交与点C,其中点B在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/15 15:40:53
已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交与A、B两点,与y轴交与点C,其中点B在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,线段OB、OC的长(OB<OC)是方程x²-10x+16=0的两个根,且抛物线的对称轴是直线x=-2.
(1)求此抛物线的表达式
(2)连接AC、BC、,若点E是线段AB上的一个动点(与点A、点B不重合),过点E做EF//AC交与点F,连接CE,设AE的长为m,⊿CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;
(3)在(2)的基础上说明S是否存在最大值,若存在,请求出S的最大值,并求出此点E的坐标,判断此时⊿BCE的形状;若不存在,请说明理由.
知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交与A、B两点,与y轴交与点C,其中点B在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,线段OB、OC的长(OB<OC)是方程x²-10x+16=0的两个根,且抛物线的对称轴是直线x=-2.
(1)求此抛物线的表达式
(2)连接AC、BC、,若点E是线段AB上的一个动点(与点A、点B不重合),过点E做EF//AC交与点F,连接CE,设AE的长为m,⊿CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;
(3)在(2)的基础上说明S是否存在最大值,若存在,请求出S的最大值,并求出此点E的坐标,判断此时⊿BCE的形状;若不存在,请说明理由.
(1)方程x²-10x+16=0
(x-2)(x-8)=0
x=2或x=8
那么OB=2,OC=8
点B的坐标为(2,0),点C(0,8)
设抛物线为y=a(x+2)²+b
代入
16a+b=0(1)
4a+b=8(2)
(1)-(2)
12a=-8
a=-2/3
b=32/3
抛物线方程为y=-2/3(x+2)²+32/3=-2/3x²-8/3x+8
(2)点A的坐标为(-6,0)关于x=-2和点B对称
点E的坐标为(m-6,0)
直线AC的斜率=8/6=4/3
那么EF的斜率=4/3
直线BC的方程为x/2+y/8=1
4x+y=8
设直线EF的方程为y=4/3x+b
将点E代入
0=4/3(m-6)+b
b=8-4/3m
直线EF的方程为y=4/3x+8-4/3m
与4x+y=8求出交点(m/4,8-m)
S△CEF=S△ABC-S△ACE-S△BFE
=1/2×8×8-1/2×m×8-1/2×(8-m)×(8-m)
=-1/2(m-8)²-4m+32
=-1/2m²+8m-32-4m+32
=-1/2m²+4m
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