作业帮一道数学竞赛题（数论）
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/06 23:04:38
一道数学竞赛题（数论）
一个由正整数组成的数集有如下性质：
集合中除1以外所有数都能被2,3,5中的至少一个数整除；
如果对于任意正整数n,在集合中包含2n,3n,或5n中的任意一个,则集合中包含n,2n,3n,5n的所有四个数.
已知这个集合有300到400个数,请问具体这个集合中有多少数?
（澳洲数学竞赛）
一个由正整数组成的数集有如下性质：
集合中除1以外所有数都能被2,3,5中的至少一个数整除；
如果对于任意正整数n,在集合中包含2n,3n,或5n中的任意一个,则集合中包含n,2n,3n,5n的所有四个数.
已知这个集合有300到400个数,请问具体这个集合中有多少数?
（澳洲数学竞赛）
记这个数集为G.且称2,3,5为小素数.题设条件总结为
S1(存在性):G中大于1的整数必有小素因数.
S2(消去律):G中的整数除去一个小因子仍属于G.
S3(置换律):G中的整数,将它的1个小素因子置换为其它小素数仍属于G.
先简单说明几条引理
〖引理1〗G中的数不含大于5的素因数.
这是因为G中的任意数按S2除尽其小素因子后必剩下1,否则与S1相矛盾.
〖引理2〗有限集G中的最大数必为5的幂.
最大数若含有因数2或3,则按S3置换为5后变得更大,这与最大数前提相矛盾.
〖引理3〗设最大数为5^n,那么G={g|g=2^x∙3^y∙5^z,x+y+z≤n}
如果x+y+z＞n,那么按置换律将2和3全部换成5后将得到大于5^n的幂.这与5^n为最大数相矛盾.
按消去律和置换律,2^x∙3^y∙5^z,(x+y+z≤n)都是G的元素.
最后,x+y+z≤n的非负整数解数为C(n+2,3)=(n+2)(n+1)n/6,
300
S1(存在性):G中大于1的整数必有小素因数.
S2(消去律):G中的整数除去一个小因子仍属于G.
S3(置换律):G中的整数,将它的1个小素因子置换为其它小素数仍属于G.
先简单说明几条引理
〖引理1〗G中的数不含大于5的素因数.
这是因为G中的任意数按S2除尽其小素因子后必剩下1,否则与S1相矛盾.
〖引理2〗有限集G中的最大数必为5的幂.
最大数若含有因数2或3,则按S3置换为5后变得更大,这与最大数前提相矛盾.
〖引理3〗设最大数为5^n,那么G={g|g=2^x∙3^y∙5^z,x+y+z≤n}
如果x+y+z＞n,那么按置换律将2和3全部换成5后将得到大于5^n的幂.这与5^n为最大数相矛盾.
按消去律和置换律,2^x∙3^y∙5^z,(x+y+z≤n)都是G的元素.
最后,x+y+z≤n的非负整数解数为C(n+2,3)=(n+2)(n+1)n/6,
300