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已知向量OA=(2.0),向量OB=(0,-2√3),P是单位圆上一点,当向量AP·向量BP最小时,求向量PA与向量PB

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/26 11:38:43
已知向量OA=(2.0),向量OB=(0,-2√3),P是单位圆上一点,当向量AP·向量BP最小时,求向量PA与向量PB的夹角
设向量P为(cosa,sina)
则AP=(cosa-2,sina)
BP=(cosa,sina+2√3)
向量AP·向量BP=(cosa-2)cosa+sina*(sina+2√3)
=2√3sina-2cosa+1
=4sin(a-π/6)+1
当a=2/3π时取得最大值
所以
向量PA与向量PB的夹角
cosθ=向量AP·向量BP/|向量AP||向量AP|
当a=2/3π时,
AP=(cosa-2,sina)=(-5/2,√3/2)
BP=(cosa,sina+2√3)=(-1/2,5√3/2)
则|向量AP|=√7
|向量BP|=√19
所以cosθ=5/√(7*19)=5/√133
所以夹角为arccos5/√133