在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，将一个足够大的直角三角板ROQ的直角顶点O放在对角线AC上（除A、C两点外），将三

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/21 05:47:31

在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，将一个足够大的直角三角板ROQ的直角顶点O放在对角线AC上（除A、C两点外），将三角板绕点O旋转，两直角边OQ、OR与矩形两邻边分别交于E、F两点．

（1）如图1，若两直角边与边AB、BC相交，当三角板的直角顶点O与AC的中点重合时，请直接写出OE与OF的数量关系；
（2）如图2，若两直角边与边AB、BC相交，当AO=m时，请写出OE与OF的数量关系，并证明你的结论；
（3）请你在图3中画出当直角三角板ROQ的直角顶点O在对角线AC上滑动时，但OE与OF的数量关系不随之改变的某一时刻的图形．

（1）OE与OF的数量关系是OE：OF=AB：AC=3：4；（1分）
（2）
OE
OF＝
15−3m
4m．（2分）
如图2，过点O分别作AB、BC的垂线，垂足为M、N．
由题意易知，OM⊥ON，AC=5，BC=AD=4，
∵OM⊥AB，BC⊥AB∴OM∥BC．
∴△AOM∽△ACB．（3分）
∴
OM
BC＝
AO
AC．
∴
OM
4＝
m
5．

∴MO＝
4m
5．（4分）
同理可得ON＝
15−3m
5．（5分）
∵∠MOF+∠FON=90°，∠FON+∠EON=90°，
∴∠MOF=∠NOE．
又∵∠OMF=∠ONE=90°，
∴△OMF∽△ONE．（6分）
∴
OE
OF＝
ON
OM．（7分）
∴
OE
OF＝
15−3m
4m．
（3）如图，只要直角三角板ROQ的两直角边OQ、OR与矩形CD、BC边相交或与AB、AD边相交即可．（8分）