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（2014•天门模拟）在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O放在斜边AC上，将三角

来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：综合作业 时间：2024/05/08 12:39:47
（2014•天门模拟）在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O放在斜边AC上，将三角板绕点O旋转．

（1）当点O为AC中点时，
①如图1，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，连接EF，猜想线段AE、CF与EF之间存在的等量关系（无需证明）；
②如图2，三角板的两直角边分别交AB，BC延长线于E、F两点，连接EF，判断①中的猜想是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（2）当点O不是AC中点时，如图3，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，若
AO
AC
（1）①猜想：AE2+CF2=EF2．
②成立．
证明：连结OB．
∵AB=BC，∠ABC=90°，O点为AC的中点，
∴OB=
1
2，∠BOC=90°，∠ABO=∠BCO=45°．
∵∠EOF=90°，
∴∠EOB=∠FOC，
又∵∠EBO=∠FCO，
在△OEB和△OFC中

∠EOB＝∠COF
OB＝OC
∠OBE＝∠OCF，
∴△OEB≌△OFC，
∴BE=CF，
又∵BA=BC，
∴AE=BF．
在Rt△EBF中，
∵∠EBF=90°，
∴BF2+BE2=EF2，
∴AE2+CF2=EF2．

（2）如图，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N．
∵∠B=90°，
∴∠MON=90°，
∵∠EOF=90°，
∴∠EOM=∠FON．
∵∠EMO=∠FNO=90°，
∴△OME∽△ONF，
∴
OM
ON=
OE
OF，
∵△AOM和△OCN为等腰直角三角形，
∴△AOM∽△OCN，
∴
OM
ON=
AO
OC，
∵
AO
AC=
1
4，
∴
OE
OF=
1
3．
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