已知函数f（x）=ax+lnx，函数g（x）=ex，其中e为自然对数的底数．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/27 16:03:23

已知函数f（x）=ax+lnx，函数g（x）=e^x，其中e为自然对数的底数．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若∃x∈（0，+∞），使得不等式g（x）＜

x−m+3

（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)＝a+
1
x（x＞0）．
①当a≥0时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上为增函数．
②当a＜0时，若x∈(0，−
1
a)，f'（x）＞0，∴f（x）在x∈(0，−
1
a)上为增函数；
若x∈(−
1
a，+∞)，f'（x）＜0，∴f（x）在x∈(−
1
a，+∞)上为减函数．
综上所述，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上为增函数．
当a＜0时，f（x）在(0，−
1
a)上为增函数，在(−
1
a，+∞)上为减函数．
（Ⅱ）∵∃x∈（0，+∞），使得不等式g(x)＜
x−m+3

x成立，∴∃x∈（0，+∞），使得m＜x−ex
x+3成立，
令h(x)＝x−ex
x+3，则h′(x)＝1−ex(
x+
1
2
x)，
当x∈（0，+∞）时，∵e^x＞1，
x+
1
2
x≥2

x•
1
2
x＝
2，
∴ex(
x+
1
2
x)＞1，∴h'（x）＜0，从而h（x）在（0，+∞）上为减函数，∴h（x）＜h（0）=3∴m＜3．
（Ⅲ）当a=0时，f（x）=lnx，令φ（x）=g（x）-f（x）-2，则φ（x）=e^x-lnx-2，
∴φ′(x)＝ex−
1
x，且φ'（x）在（0，+∞）上为增函数．
设φ'（x）=0的根为x=t，则et＝
1
t，即t=e^-t．
∵当x∈（0，t）时，φ'（x）＜0，φ（x）在（0，t）上为减函数；当x∈（t，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）在（t，+∞）上为增函数，
∴φ(x)min＝φ(t)＝et−lnt−2＝et−lne−t−2＝et+t−2∵φ'（1）=e-1＞0，φ′(
1
2)＝
e−2＜0，∴t∈(
1
2，1)，
由于φ（t）=e^t+t-2在t∈(
1
2，1)上为增函数，∴φ(x)min＝φ(t)＝et+t−2＞e
1
2+
1
2−2＞
2.25+
1
2−2＝0，
∴f（x）＜g（x）-2．

已知a∈R，函数f(x)＝ax+lnx−1，g（x）=（lnx-1）ex+x（其中e为自然对数的底数）．（2014•青岛二模）已知函数f（x）=ex+ax，g（x）=ax-lnx，其中a＜0，e为自然对数的底数．已知函数f（x）=ex-ax（e为自然对数的底数）（2014•汕尾二模）已知函数f(x)＝1x+lnx−1，g（x）=（lnx-1）ex+x（其中e为自然对数的底数）．已知a属于R,函数f(x)=a/x+lnx-1,g(x)=(lnx-1)e^x+x(其中e为自然对数的底数）已知函数f(x)=lnx/x,g(x)=ax3-2aex2+2ex,其中e为自然对数的底数已知函数f（x）=ex-ax-1（a＞0,e为自然对数的底数）．已知函数f（x）=ex-ax-1（a＞0，e为自然对数的底数）．已知函数f(x)=ax^2+x/e-lnx(其中a为常数,e为自然对数的底数) 已知函数f（x）=ex-x（e为自然对数的底数）（2014•石家庄二模）已知函数f（x）=ex-ax-1（a∈R），其中e为自然对数的底数．已知函数f（x）=ex+e-x，其中e是自然对数的底数．