椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率e=√2/2,直线x+y+1=0交于椭圆A,B两点,且OA垂
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/29 12:59:45
椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率e=√2/2,直线x+y+1=0交于椭圆A,B两点,且OA垂直OB,求椭圆方程
∵e=√(a^2-b^2)/a=√2/2,∴a^2-b^2=a^2/2,∴a^2=2b^2.
设椭圆与直线的交点坐标是A(m,n),B(p,q).
将直线方程改写成:y=-x-1,代入椭圆方程中,得:x^2/a^2+(-x-1)^2/b^2=1,
∴x^2/(2b^2)+(-x-1)^2/b^2=1,∴x^2+2(x+1)^2=2b^2,
∴x^2+x^2+2x+2=2b^2,∴3x^2+2x+2-2b^2=0.
很明显,m、p的值是方程3x^2+2x+2-2b^2=0的两根,由韦达定理,有:
m+p=-2/3, mp=(2-2b^2)/3.
∵OA⊥OB,又OA的斜率=n/m,OB的斜率=q/p,∴nq/(mp)=-1,
而显然有:n=-m-1, q=-p-1,∴(-m-1)(-p-1)/(mp)=-1,
∴[mp+(m+p)+1]/(mp)=-1,∴mp+(m+p)+1=-mp,
∴(m+p)=-2mp-1,∴(2-2b^2)/3=-2×(-2/3)-1=-1/3,
∴2-2b^2=-1,∴2b^2=3,∴b^2=3/2,得:a^2=2b^2=3.
∴要求的椭圆方程是:x^2/3+y^2/(3/2)=1.
设椭圆与直线的交点坐标是A(m,n),B(p,q).
将直线方程改写成:y=-x-1,代入椭圆方程中,得:x^2/a^2+(-x-1)^2/b^2=1,
∴x^2/(2b^2)+(-x-1)^2/b^2=1,∴x^2+2(x+1)^2=2b^2,
∴x^2+x^2+2x+2=2b^2,∴3x^2+2x+2-2b^2=0.
很明显,m、p的值是方程3x^2+2x+2-2b^2=0的两根,由韦达定理,有:
m+p=-2/3, mp=(2-2b^2)/3.
∵OA⊥OB,又OA的斜率=n/m,OB的斜率=q/p,∴nq/(mp)=-1,
而显然有:n=-m-1, q=-p-1,∴(-m-1)(-p-1)/(mp)=-1,
∴[mp+(m+p)+1]/(mp)=-1,∴mp+(m+p)+1=-mp,
∴(m+p)=-2mp-1,∴(2-2b^2)/3=-2×(-2/3)-1=-1/3,
∴2-2b^2=-1,∴2b^2=3,∴b^2=3/2,得:a^2=2b^2=3.
∴要求的椭圆方程是:x^2/3+y^2/(3/2)=1.
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率e=√2/2,直线x+y+1=0与椭圆交于P Q两点 且
已知椭圆X^2/a^2 +y ^2/b^2 =1(a>b>0)的离心率为1/2,过F1的直线交椭圆于A.B且两点三角形A
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率e=根号2/2,直线x+y+1=0与椭圆交于P,Q两点,
数学题椭圆方程的题椭圆中心为原点O,焦点在x轴上,离心率e=根号2\2,直线y=x=1交椭圆于A、B两点,且△AOB的面
椭圆中心为原点O,焦点在x轴上,离心率e=√2/2,直线y=x+1交椭圆于A,B两点,且△AOB的面积等于2/3
已知椭圆的离心率为根号3/2,直线y=1/2x+1与椭圆交于A,B两点,点M在椭圆上,OM=1/2OA+根号3/2ob,
椭圆中心为原点o,焦点在x轴上,离心率e=根号2/2,直线y=x+1交椭圆于A,B两点,且三角形AOB的面积=2/3,
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率=√6/3,过右焦点的直线斜率为一,交椭圆于AB两点
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的右焦点为F2(3,0)离心率为e,设直线y=kx与椭圆相交于A、B两点,M、
已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>0)与直线l 2x+y-2=0交于A,B两点,且OA⊥OB,椭
已知直线y=-x+1与椭圆 相交于A、B两点,且线段AB的中点在直线L:x-2y=0上,则此椭圆的离心率为_______
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的离心率为根号2/2,左焦点F(-2,0)若直线y=x+m与椭圆交于不同的两点