作业帮麻烦知道的大神告诉下,
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/30 13:51:53
麻烦知道的大神告诉下,
1.证明xln[x+√(1+x²)]>√(1+x²)-1(x>0)
证明：设f(x)=xln[x+√(1+x²)]-√(1+x²)+1；由于当x>0时,
f '(x)=ln[x+√(1+x²)]+x[1+x/√(1+x²)]/[x+√(1+x²)]-x/√(1+x²)
=ln[x+√(1+x²)]+x/√(1+x²)-x/√(1+x²)
=ln[x+√(1+x²)]>0恒成立；即在x>0时,f(x)是增函数；又f(0)=0；故当x>0时恒有f(x)>0；
即有xln[x+√(1+x²)]>√(1+x²)-1(x>0).
2.求极限x→1lim[2/(x²-1)-3/(x³-1)]
原式=x→1lim[2/(x-1)(x+1)-3/(x-1)(x²+x+1)]
=x→1lim[2(x²+x+1)-3(x+1)]/[(x-1)(x+1)(x²+x+1)]
=x→1lim[(2x²-x-1)/(x-1)(x+1)(x²+x+1)]
=x→1lim[(2x+1)(x-1)/(x-1)(x+1)(x²+x+1)]
=x→1lim[(2x+1)/(x+1)(x²+x+1)]=1/2.
证明：设f(x)=xln[x+√(1+x²)]-√(1+x²)+1；由于当x>0时,
f '(x)=ln[x+√(1+x²)]+x[1+x/√(1+x²)]/[x+√(1+x²)]-x/√(1+x²)
=ln[x+√(1+x²)]+x/√(1+x²)-x/√(1+x²)
=ln[x+√(1+x²)]>0恒成立；即在x>0时,f(x)是增函数；又f(0)=0；故当x>0时恒有f(x)>0；
即有xln[x+√(1+x²)]>√(1+x²)-1(x>0).
2.求极限x→1lim[2/(x²-1)-3/(x³-1)]
原式=x→1lim[2/(x-1)(x+1)-3/(x-1)(x²+x+1)]
=x→1lim[2(x²+x+1)-3(x+1)]/[(x-1)(x+1)(x²+x+1)]
=x→1lim[(2x²-x-1)/(x-1)(x+1)(x²+x+1)]
=x→1lim[(2x+1)(x-1)/(x-1)(x+1)(x²+x+1)]
=x→1lim[(2x+1)/(x+1)(x²+x+1)]=1/2.