已知O为锐角△ABC的外心,证明△BOC,△COA,△AOB的面积依次成等差数列的充要条件为tana,tanb,tanc

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/15 03:09:26

已知O为锐角△ABC的外心,证明△BOC,△COA,△AOB的面积依次成等差数列的充要条件为tana,tanb,tanc是等差数列

首先,可以证明在斜三角形ABC中：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
证：A+B+C=180º
A+B=180º-C,tan(A+B)=tan(180º-C)=-tanC
[tanA+tanB]/[1-tanAtanB]=-tanC
tanA+tanB=-tanC+tanAtanBtanC
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
回到本题：
设⊿ABC的外接圆半径为R,则△BOC,△COA,△AOB的面积依次：
（1/2)R^2sin2A,（1/2)R^2sin2B,（1/2)R^2sin2C
△BOC,△COA,△AOB的面积依次成等差数列
（1/2)R^2sin2A+（1/2)R^2sin2C=2（1/2)R^2sin2B
sin2A+sin2C=2sin2B
2sin(A+C)cos(A-C)=4sinBcosB
(sin(A+C)=sinB)
cos(A-C)=2cosB=-2cos(A+C)
cosAcosC+sinAsinC=-2(cosAcosC-sinAsinC)
sinAsinC=3cosAcosC
tanAtanC=3
tanAtanBtanC=3tanB
tanA+tanB+tanC=3tanB
tanA+tanC=2tanB
tana,tanb,tanc是等差数列.
注意每一步都可以逆推,问题得证.

一条数学的正切证明题△ABC不是直角三角形求证：tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC 设O使锐角三角形ABC的外心,若∠C=75°,且△AOB,△BOC,△COA的面积满足S△AOB+S△BOC=根号三S△ 已知:A,B,C是△ABC的三个内角,求证:tanA+tanB+tanC=tanA*tanB*tanC 已知△abc是钝角三角形则tanA+tanB+tanC的取值是（）在三角形ABC内任取一点O,设Sa,Sb,Sc分别为三角形BOC,三角形COA,三角形AOB的面积, 在三角形ABC内任取一点O,设Sa,Sb,Sc分别为三角形BOC,三角形COA,三角形AOB的面积已知∠A,∠B,∠C是△ABC的内角.求证：tanA/2×tanB/2+tanB/2×tanC/2+tanC/2×tan 锐角△ABC中，tanA•tanB的值（　　）如图,已知△ABC中58°,分别求∠BOC的度数 ①O为外心②O为内心③O为垂心一道数学向量题三角形ABC内一点O记三角形BOC的面积为Sa；COA的面积为Sb；AOB的面积为Sc证明Sa*向量OA+ ∠A,∠B,∠C为锐角三角形ABC的三个内角且tanA,tanB,tanC为等差数列,f(x)满足f（tanc）=1/s 已知A、B为锐角,证明A+B=TT/4的充要条件是（1+tanA)(1+tanB）=2