如图,在平面直角坐标系中,点C的坐标是（0,3）,点A的坐标是（8,0）,点B的坐标是（4,3）,P、Q分别是

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/22 16:23:52

如图,在平面直角坐标系中,点C的坐标是（0,3）,点A的坐标是（8,0）,点B的坐标是（4,3）,P、Q分别是
x、y轴上的两个动点 ,点P从C出发,在线段CB上以1个单位/秒的速度向点B移动,点Q从A出发,在线段AO上以2个单位/秒的速度向点O 移动.设点P、Q同时出发,运动的时间为t（秒）
(1)当t为何值时,PQ平分四边形OABC的面积?
（2）当t为何值时,PQ⊥OB?
（3）当t为何值时,PQ//AB?
（4）当t为何值时,三角形OPQ是等腰三角形?

依题意可得CP=t,OQ=8-2t (0≤t≤4)
(1)1/2×S梯形OABC=1/2×1/2×3×(4+8)=9
平分时,S梯形CPOQ=9,则 9=1/2×3×(CP+OQ)
则有CP+OQ=8-t=6 解得t=2
(2)PQ⊥OB时,∠PEB=∠OEQ=90°
∵CB⊥OC,CB=4,OC=3
∴OB=5
又∵5=OB=BE+EO=cos∠PBE×PB+cos∠EOQ×OQ=4/5×(4-t)+4/5×(8-2t)=4/5×(12-3t)
即25/4=12-3t 3t=12-25/4=23/4 解得t=23/12
PS:此处若用高中向量方法做更简单.
附高中向量方法:
向量PQ=(8-3t,-3),向量OB=(4,3)
PQ⊥OB 则有向量PQ · 向量OP=32-14t-9=0
解得t=23/12
(3)由平行四边形性质可得,PQ∥AB且AQ∥BP,则ABPQ为平行四边形
∴BP=AQ 推出 4-t=2t 解得t=4/3
(4)联结OP,设P(t,3),Q(8-2t,0)
△OPQ为等腰三角形时
①OP=PQ时
有 t²+9=9t²-48t+64+9
8t²-48t+64=0
t²-6t+8=0
(t-2)(t-4)=0 (t=4时舍去,因此时OPQ三点共线)
∴t=2
②OP=OQ时
有 t²+9=4t²-32t+64
3t²-32t+55=0
△=364
∴t=(32±2√91)/2=16±√91
9＜√91＜10,∴25＜t＜26或6＜t＜7
∵0≤t≤4
∴此时t不存在
③OQ=PQ时
有 4t²-32t+64=9t²-48t+64+9
5t²-16t+9=0
△=76
∴t=(16±2√19)/2=8±√19
∵4＜√19＜5 ∴3＜t＜4或12＜t＜13
∴t=8-√19
综上所述,当△OPQ是等腰三角形时,t=2或t=8-√19