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微积分题求解设f(x)可微,f(0)=0,f'(0)=1,F(x)=∫tf(x²-t²)dt(注:积

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/19 08:46:40
微积分题求解
设f(x)可微,f(0)=0,f'(0)=1,F(x)=∫tf(x²-t²)dt(注:积分下限是0,上限是x)
这道题答案上写等量代换 x²-t²=u,然后直接就得出 F(x)=½∫f(u)du(积分下限是0,上限是x²).
请问这一步是怎么得到的,麻烦告知具体的解题过程,
变量代换:x²-t²=u
两边微分:0 - 2tdt = du
在没有积分之前,变量是 t,x 是积分的上限
所以:tdt = -(1/2)du
又因为:x²-t²=u,t:0--->x,u:x²--->0
所以:∫tf(x²-t²)dt =-(1/2)∫f(u)du
此时的积分区间是:x²--->0
上下区间对调后,得:
∫tf(x²-t²)dt =-(1/2)∫f(u)du 【x²--->0】
=(1/2)∫f(u)du 【0--->x²】