设f(x)连续,且满足f(x)=e^x+∫(0,x)tf(x-t)dt,求f(x)
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/22 12:18:45
设f(x)连续,且满足f(x)=e^x+∫(0,x)tf(x-t)dt,求f(x)
由于f(x)连续,则∫(0,x)tf(x-t)dt可导,
由于f(x)=e^x+∫(0,x)tf(x-t)dt,因此f(x)可导
换元,令x-t=u,则dt=-du,u:x→0
f(x)=e^x-∫[x→0] (x-u)f(u)du
=e^x+∫[0→x] (x-u)f(u)du
=e^x+x∫[0→x] f(u)du-∫[0→x] uf(u)du
两边求导得
f '(x)=e^x+∫[0→x] f(u)du+xf(x)-xf(x)
=e^x+∫[0→x] f(u)du (1)
由∫[0→x] f(u)du可导得:f '(x)可导
(1)两边再求导得:f ''(x)=e^x+f(x) 二阶常系数非齐次线性微分方程
将x=0代入原式得:f(0)=1
将x=0代入(1)得:f '(0)=1
这样问题转化为求解微分方程初值问题
f ''(x)-f(x)=e^x
f(0)=1
f '(0)=1
特征方程为:r²-1=0,解得r=±1
因此齐次方程通解为:C1e^x+C2e^(-x)
设方程特解为:y*=axe^x
代入微分方程解得:a=1/2
因此微分方程通解为:f(x)=C1e^x+C2e^(-x)+(1/2)xe^x
将初始条件f(0)=1,f '(0)=1代入得:f(x)=(3/4)e^x+(1/4)e^(-x)+(1/2)xe^x
由于f(x)=e^x+∫(0,x)tf(x-t)dt,因此f(x)可导
换元,令x-t=u,则dt=-du,u:x→0
f(x)=e^x-∫[x→0] (x-u)f(u)du
=e^x+∫[0→x] (x-u)f(u)du
=e^x+x∫[0→x] f(u)du-∫[0→x] uf(u)du
两边求导得
f '(x)=e^x+∫[0→x] f(u)du+xf(x)-xf(x)
=e^x+∫[0→x] f(u)du (1)
由∫[0→x] f(u)du可导得:f '(x)可导
(1)两边再求导得:f ''(x)=e^x+f(x) 二阶常系数非齐次线性微分方程
将x=0代入原式得:f(0)=1
将x=0代入(1)得:f '(0)=1
这样问题转化为求解微分方程初值问题
f ''(x)-f(x)=e^x
f(0)=1
f '(0)=1
特征方程为:r²-1=0,解得r=±1
因此齐次方程通解为:C1e^x+C2e^(-x)
设方程特解为:y*=axe^x
代入微分方程解得:a=1/2
因此微分方程通解为:f(x)=C1e^x+C2e^(-x)+(1/2)xe^x
将初始条件f(0)=1,f '(0)=1代入得:f(x)=(3/4)e^x+(1/4)e^(-x)+(1/2)xe^x
设f(x)连续,且满足f(x)=e^x+∫(0,x)tf(x-t)dt,求f(x)
设f(x)具有连续导数,且满足f(x)=x+∫(上x下0)tf'(x-t)dt求lim(x->-∞)f(x)
设f(X)连续且满足 f(x)=e^x+sinx- ∫ x 0 (x-t)f(t)dt,并求该函数f(x)
设f(x)连续,且满足f(x)=e^x+∫x上0下(t-x)f(t)dt 求f(x)
17,设f(x)为可导函数,且满足∫0到x tf(t)dt=f(x)+x^2 求f(x)
设f(x)满足 ∫0到x tf(x-t)dt=sinx+kx ,求k和f(x)
设连续函数f(x)满足f(x)=e^x-∫(0,x)f(t)dt,求f(x)
设当x>0时,函数f(x)连续且满足f(x)=x+∫(1,x)1/xf(t)dt,求f(x)
设函数f(x)具有连续的导数且满足方程,∫(0-x)(x-t+1)f'(t)dt=x^2+e^x-f(x),求f(x)
设函数f(x)可导,且满足f(x)-∫(上限为x,下限为0)f(t)dt=e^x,求f(x) 需要详解,
设f(x)是连续函数,且满足∫[0,x]f(x-t)dt=e^(-2x)-1,求定积分∫[0,1]f(x)dx
f(x)连续且f(x)=x+(x^2)∫ (0,1)f(t)dt,求f(x)