已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0），满足条件f（1+x）=f（1-x），且方程f（x）=x有等

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/26 00:53:24

已知二次函数f（x）=ax²+bx（a，b为常数，且a≠0），满足条件f（1+x）=f（1-x），且方程f（x）=x有等根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在实数m、n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[3m，3n]，如果存在，求出m、n的值，如果不存在，说明理由．

（1）∵f（x）满足f（1+x）=f（1-x），∴f（x）的图象关于直线x=1对称．
而二次函数f（x）的对称轴为x=-
b
2a，∴-
b
2a=1．①
又f（x）=x有等根，即ax²+（b-1）x=0有等根，∴△=（b-1）²=0．②
由①，②得 b=1，a=-
1
2．∴f（x）=-
1
2x²+x．
（2）∵f（x）=-
1
2x²+x=-
1
2（x-1）²+
1
2≤
1
2．
如果存在满足要求的m，n，则必需3n≤
1
2，∴n≤
1
6．
从而m＜n≤
1
6＜1，而x≤1，f（x）单调递增，
∴

f(m)＝−
1
2m2+m＝3m
f(n)＝−
1
2n2+n＝3n，
可解得m=-4，n=0满足要求．
∴存在m=-4，n=0满足要求．