作业帮数论求证：2222的5555次方加5555的2222次方能被7整除
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/15 07:03:36
数论
求证：2222的5555次方加5555的2222次方能被7整除
求证：2222的5555次方加5555的2222次方能被7整除
二项展开式:
(a+b)^n=C(0,n)a^n+C(1,n)a^(n-1)b+...+C(n-1,n)ab^(n-1)+C(n,n)b^n
2222/7=317.3
2222=7*317+3=2219+3
5555/7=793.4
5555=7*793+4=5551+4
所以2222^5555
=(2219+3)^5555
=2219^5555+C(1,5555)2219^5554*3+...+C(n-1,n)2219*4^5554+3^5555
由于2219能被7整除,所以2222^5555除以7的余数和3^5555除以7的余数是一样的
同理5555^2222除以7的余数和4^2222除以7的余数是一样的
3^5555=3^(5*1111)=(3^5)^1111=243^1111=(245-2)^1111=(7*35-2)^1111
所以3^5555除以7的余数和（-2)^1111除以7的余数是一样的
4^2222=4^(2*1111)=(4^2)^1111=16^1111=(14+2)^1111
所以4^2222除以7的余数和2^1111除以7的余数是一样的
所以2222^5555+5555^2222除以7的余数和-2^1111+2^1111除以7的余数是一样的,都是0
即2222^5555+5555^2222能被7整除
(a+b)^n=C(0,n)a^n+C(1,n)a^(n-1)b+...+C(n-1,n)ab^(n-1)+C(n,n)b^n
2222/7=317.3
2222=7*317+3=2219+3
5555/7=793.4
5555=7*793+4=5551+4
所以2222^5555
=(2219+3)^5555
=2219^5555+C(1,5555)2219^5554*3+...+C(n-1,n)2219*4^5554+3^5555
由于2219能被7整除,所以2222^5555除以7的余数和3^5555除以7的余数是一样的
同理5555^2222除以7的余数和4^2222除以7的余数是一样的
3^5555=3^(5*1111)=(3^5)^1111=243^1111=(245-2)^1111=(7*35-2)^1111
所以3^5555除以7的余数和（-2)^1111除以7的余数是一样的
4^2222=4^(2*1111)=(4^2)^1111=16^1111=(14+2)^1111
所以4^2222除以7的余数和2^1111除以7的余数是一样的
所以2222^5555+5555^2222除以7的余数和-2^1111+2^1111除以7的余数是一样的,都是0
即2222^5555+5555^2222能被7整除
求证3的2008次方减4乘3的2007次方加10乘以3的2006次方能被7整除
用数学归纳法求证N的3次方加5N能被6整除~
求证：81七次方-27九次方-9的13次方能被45整除
求证:3的2012次方-4*3的2011次方+10*3的2010次方一定能被7整除
求证：81的7次方-27的9次方-9的13次方能被45整除.
求证:3的2005次方-4*3的2004次方+10*3的2003次方能被7整除.
求证：81的7次方减27的9次方减9的13次方能被45整除.
求证3的2015次方一4x3的2014次方+10X3的2013次方能被7整除
求证：3的2010次方-4×3的2009次方+10×3的2009次方能被7整除.
试证明4的2001次方加4的2000次方加4的1999次方能被7整除
求证：2的20次方能被31整除
求证：11的10次方-1能被100整除