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如图,过△ABO的重心G的直线与变OA,OB分别交于点P,Q,设OP=hOA,OQ=kOB,求证1/h+1/k=3

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/14 04:57:57
如图,过△ABO的重心G的直线与变OA,OB分别交于点P,Q,设OP=hOA,OQ=kOB,求证1/h+1/k=3
用向量解决
证明:过点G作AB的平行线,分别交OA、OB于M、N
再过M作OB的平行线,交QP的延长线于点K
则三角形KPM与三角形QPO相似,所以PM/OP=KM/OQ;
又由三角形重心的性质可知MG=NG,所以三角形GMK与GNQ全等.另AM=1/3AO BN=1/3OB
所以MK=NQ.故PM/OP=NQ/OQ.
因为1/h+1\k=OA/OP+OB/OQ=1+AP/OP+1+BQ/OQ=2+(AM+MP)/OP+(BN-NQ)/OQ=2+AM/OP+PM/OP+BN/OQ-NQ/OQ=2+AM/OP+BN/OQ=2+1/3(AO/OP+BO/OQ)=2+1/3(1/h+1/k)
所以1/h+1/k=3
证毕