三角形ABC内,求一点P,使AP^2+BP^2+CP^2最小
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/17 22:12:05
三角形ABC内,求一点P,使AP^2+BP^2+CP^2最小
在平面直角坐标系中设三点A(a,b),B(c,d),C(e,f),P为三角形内一点(x,y)
则根据平面上两点距离公式
PA^2=(x-a)^2+(y-b)^2
PB^2=(x-c)^2+(y-d)^2
PC^2=(x-e)^2+(y-f)^2
PA^2+PB^2+PC^2=(x-a)^2+(y-b)^2+(x-c)^2+(y-d)^2+(x-e)^2+(y-f)^2
=(x^2-2ax+a^2)+(y^2-2by+y^2)+(x^2-2cx+c^2)+(y^2-2dy+y^2)+(x^2-2ex+x^2)+(y^2-2fx+f^2)
=[3x^2-2(a+c+e)x+a^2+c^2+e^2]+[3y^2-2(b+d+f)y+b^2+d^2+f^2]
因为a,b,c,d,e,f为六个互不关联的取值
所以仅当上边两个中括号内均取最小值时,PA^2+PB^2+PC^2有最小值
令f(x)=3x^2-2(a+c+e)x+a^2+c^2+e^2
f'(x)=6x-2(a+c+e)
令f'(x)=0得x=(a+c+e)/3
令g(y)=3y^2-2(b+d+f)y+b^2+d^2+f^2
g'(y)=6y-2(b+d+f)
令g'(y)=0得y=(b+d+f)/3
所以P点的坐标为P((a+c+e)/3,(b+d+f)/3)
下面证明P是重心
设重心为O,则O分有向线段CD的比例为2,由定比分点公式重心O的横坐标为[e+2*(a+c)/2]/(1+2)=(a+c+e)/3,同理纵坐标为(b+d+f)/3.
所以P与O重合,即P为重心
则根据平面上两点距离公式
PA^2=(x-a)^2+(y-b)^2
PB^2=(x-c)^2+(y-d)^2
PC^2=(x-e)^2+(y-f)^2
PA^2+PB^2+PC^2=(x-a)^2+(y-b)^2+(x-c)^2+(y-d)^2+(x-e)^2+(y-f)^2
=(x^2-2ax+a^2)+(y^2-2by+y^2)+(x^2-2cx+c^2)+(y^2-2dy+y^2)+(x^2-2ex+x^2)+(y^2-2fx+f^2)
=[3x^2-2(a+c+e)x+a^2+c^2+e^2]+[3y^2-2(b+d+f)y+b^2+d^2+f^2]
因为a,b,c,d,e,f为六个互不关联的取值
所以仅当上边两个中括号内均取最小值时,PA^2+PB^2+PC^2有最小值
令f(x)=3x^2-2(a+c+e)x+a^2+c^2+e^2
f'(x)=6x-2(a+c+e)
令f'(x)=0得x=(a+c+e)/3
令g(y)=3y^2-2(b+d+f)y+b^2+d^2+f^2
g'(y)=6y-2(b+d+f)
令g'(y)=0得y=(b+d+f)/3
所以P点的坐标为P((a+c+e)/3,(b+d+f)/3)
下面证明P是重心
设重心为O,则O分有向线段CD的比例为2,由定比分点公式重心O的横坐标为[e+2*(a+c)/2]/(1+2)=(a+c+e)/3,同理纵坐标为(b+d+f)/3.
所以P与O重合,即P为重心
在三角形ABC内求一点P,使向量AP+向量BP+向量CP最小
在△ABC所在平面内求一点P,使AP*2+BP*2+CP*2最小.
P为正三角形ABC内一点 且AP=4 BP=2根号3 CP=2 求三角形ABC的边长
在三角形abc所在平面内求一点p使ap的平方加上bp的平方加上cp的平方最小
有一等腰直角三角形ABC,AB=BC,三角形内一点P,已知CP=2,AP=4,BP=6,求角CPA的度数.
已知P是△ABC内一点,求证:AP+BP+CP>1/2(AB+BC+CA)
已知P为三角形ABC所在平面内一点,且向量AP+2向量BP+3向量CP=向量0.延长AP交BC于点D,
如图 ,P为三角形ABC内任意一点,连接AP,试说明AP+BP+CP>1/2(AB+AC+BC)
求点p使三角形abc中AP+BP+CP值最小.作法!
在三角形ABC中,点P为三角形内任意一点,连接AP、BP、CP,求证AB+BC+CA>1/2(AP+BP+CP)
初三数学题(2星)等腰直角三角形ABC内有一点P,求AP+BP+CP最小值
已知三角形ABC内一点P,连结AP,BP,CP并延长,分别与BC,AC,AB交于D,E,F,求AP+BP+CP 的值