证明多项式f(x)=1-(x-1)(x-2)(x-3)……(x-n)在有理数域上不可约
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/12 12:39:25
证明多项式f(x)=1-(x-1)(x-2)(x-3)……(x-n)在有理数域上不可约
方便起见,不妨改为证明f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)...(x-n)-1不可约.
用反证法,假设f(x) = g(x)h(x),其中g(x),h(x)都是次数不小于1的有理系数多项式.
由Gauss引理,不妨设g(x)与h(x)都是首1的整系数多项式.
依次带入x = 1,2,...,n,可知g(k)h(k) = f(k) = -1,对k = 1,2,...,n.
而g(k)与h(k)都是整数,可知g(k)和h(k)只能是±1.
且g(k) = 1时h(k) = -1,而g(k) = -1时h(k) = 1.
因此总有g(k)+h(k) = 0,对k = 1,2,...,n.
多项式g(x)+h(x)有n个不同的根,但其次数 < n (g(x)与h(x)的次数都小于n),
于是g(x)+h(x)恒等于0,但这与g(x),h(x)的最高次项系数为1矛盾.
所以f(x)不可约.
用反证法,假设f(x) = g(x)h(x),其中g(x),h(x)都是次数不小于1的有理系数多项式.
由Gauss引理,不妨设g(x)与h(x)都是首1的整系数多项式.
依次带入x = 1,2,...,n,可知g(k)h(k) = f(k) = -1,对k = 1,2,...,n.
而g(k)与h(k)都是整数,可知g(k)和h(k)只能是±1.
且g(k) = 1时h(k) = -1,而g(k) = -1时h(k) = 1.
因此总有g(k)+h(k) = 0,对k = 1,2,...,n.
多项式g(x)+h(x)有n个不同的根,但其次数 < n (g(x)与h(x)的次数都小于n),
于是g(x)+h(x)恒等于0,但这与g(x),h(x)的最高次项系数为1矛盾.
所以f(x)不可约.
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