作业帮高等代数多项式问题：f有理数域不可约可约问题的充要条件g(x)=f(ax+b)不可约,在具体做题中b怎么取
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/22 06:36:52
高等代数多项式问题：f有理数域不可约可约问题的充要条件g(x)=f(ax+b)不可约,在具体做题中b怎么取
比如：f=x^6+x^3+1,直接用爱森斯坦判别法不行,但如果找到合适的y=x+b就可以用了,但是这个b不知道怎么找,大家有什么方法能找到合适的b吗?
比如：f=x^6+x^3+1,直接用爱森斯坦判别法不行,但如果找到合适的y=x+b就可以用了,但是这个b不知道怎么找,大家有什么方法能找到合适的b吗?
取1,就完了.
f(x+1)=(x+1)^6+(x+1)^3+1
=x^6+6x^5+15x^4+20x^3+15x^2+6x+1+x^3+3x^2+3x+1+1
=x^6+6x^5+15x^4+21x^3+18x^2+9x+3
取质数p=3,后面用爱森斯坦判别法,
（1）x^6的系数不是p的倍数
（2）x^5...x^0的系数都是p的倍数
（3）x^0的系数不是p^2的倍数
所以爱森斯坦判别法正好可以证明这个多项式的不可约性.
简单说,因为次数是6和3,都是3的倍数,所以C(6,k)和C(3,k)里大多是3的倍数.因此,找质数p=3是个很自然的选择,这是最关键的一点.
这样的话,只有(x+b)^6里的3次项和0次项需要考虑一下（除了x^6外的其他项因为C(n,k)系数的原因,都自然而然的是3的倍数,无需担心）,展开后发现,b需要满足20b^3+1是3的倍数,而且b^6+b^3+1是3的倍数而非9的倍数,取b=1正好就都满足.
f(x+1)=(x+1)^6+(x+1)^3+1
=x^6+6x^5+15x^4+20x^3+15x^2+6x+1+x^3+3x^2+3x+1+1
=x^6+6x^5+15x^4+21x^3+18x^2+9x+3
取质数p=3,后面用爱森斯坦判别法,
（1）x^6的系数不是p的倍数
（2）x^5...x^0的系数都是p的倍数
（3）x^0的系数不是p^2的倍数
所以爱森斯坦判别法正好可以证明这个多项式的不可约性.
简单说,因为次数是6和3,都是3的倍数,所以C(6,k)和C(3,k)里大多是3的倍数.因此,找质数p=3是个很自然的选择,这是最关键的一点.
这样的话,只有(x+b)^6里的3次项和0次项需要考虑一下（除了x^6外的其他项因为C(n,k)系数的原因,都自然而然的是3的倍数,无需担心）,展开后发现,b需要满足20b^3+1是3的倍数,而且b^6+b^3+1是3的倍数而非9的倍数,取b=1正好就都满足.
高等代数多项式问题：f有理数域不可约可约问题的充要条件g(x)=f(ax+b)不可约,在具体做题中b怎么取
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在复数域,有理数域将f(x)=x^9+x^8.x^2+x^1+1分解为不可约因式的乘积!
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