一道数学题（英文的）!关于(The derivatives)

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/17 01:31:27

一道数学题（英文的）!关于(The derivatives)
1.Let f(x)=2x^2-x
a.Using the definition f'(x)=lim [f(x+h)-f(x)]/h,compute f'(2).
h→0
b.Using the definition f'(x)=lim [f(x+h)-f(x)]/h,find f'(x).
h→0
c.Does the formula in part(b)yield the correct value of the derivative in part(a)?
d.Using the derivative formula f'(a)= [f(x+h)-f(a)]/(x-a),compute f'(a).How does this compare
x→a
with part(b)?

1、设f(x)=2x^2-x
a.使用（导数的）定义：f'(x)=lim [f(x+h)-f(x)]/h,计算f'(2):
h→0
f'(2)=lim [f(2+h)-f(2)]/h=lim[2(2+h)^2-(2+h)-(2*2^2-2)]/h
h→0 h→0
=lim[8+8h+2h^2-2-h-6]/h=lim[2h^2+7h]/h=lim[2h+7]=7
h→0 h→0 h→0
b.使用（导数的）定义：f'(x)=lim [f(x+h)-f(x)]/h,求出f'(x):
h→0
f'(x)=lim[2(x+h)^2-(x+h)-(2x^2-x)]/h=lim[2x^2+4hx+2h^2-x-h-2x^2+x]/h
h→0 h→0
=lim[4hx+2h^2-h]/h=lim[4x+2h-1]=4x-1
h→0 h→0
c.(上面）b部分得到的公式,产生了a部分求出的导数的正确值了吗?
x=2代入上面求出的f'(x)得：f'(2)=4*2-1=7.
不错.
d.使用导数公式f'(a)=lim [f(x)-f(a)]/(x-a),计算f'(a),与上面b部分比怎么样?注意：题目中给出的
x→a
公式是错误的.
f'(a)=lim[2x^2-x-(2a^2-a)]/(x-a)=lim[2(x^2-a^2)-(x-a)]/(x-a)=lim[2(x+a)-1]=2(a+a)-1=4a-1;
x→a x→a x→a
比较：设x-a=h,x=a+h,代入上面的公式,与b没有区别.
在b的公式中,让x=a,结果一样.

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