过原点的直线L与圆C x平方+y平方+8x-6y+21=0交于AB两点,证明向量OA乘向量OB是定值

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/14 06:49:29

过原点的直线L与圆C x平方+y平方+8x-6y+21=0交于AB两点,证明向量OA乘向量OB是定值
要解决这道题最简便的解法

圆C x²+y²+8x-6y+21=0
配方：(x+4）²+（y-3)²=4
原点O(0,0)在圆C外
解决本题可以用几何法切割线定理来证
过O向圆C引一条切线,切点为T,连接CT
∵原点O(0,0)在圆C外
∴向量OA,OB的方向相同
∴向量OA●向量OB=|OA|×|OB|(长度）
根据切割线定理：
|OA|×|OB|=|OT|²
又CT⊥OT
∴|OT|²=|OC|²-|CT|²=3²+4²-4=21
∴向量OA●向量OB=21
法2
l的斜率存在,设l的方程为y=kx
代入x²+y²+8x-6y+21=0
（1+k²）x²+(8-6k)x+21=0
设A(x1,y1),B(x2,y2)
∴x1+x2=-(8-6k)/(k²+1)
x1x2=21/(k²+1)
∴向量OA●向量OB
=x1x2+y1y2
=21/(k²+1)+k²x1x2
=21/(k²+1)+21k²/(k²+1)
=21
∴向量OA乘向量OB是定值21
再问：谢谢咯，方法2是我做出来的，但是觉得麻烦，方法一就不错了，不过o不太明确，呵呵
再答： OK

设坐标原点为0,抛物线y平方=2x与过焦点的直线交于A,B两点,则向量OA乘以向量OB=? 设坐标原点为0,抛物线y^2=2x与过交点的直线交于A,B两点,则向量OA 乘向量OB等于已知圆（x-2)的平方+y的平方=9和直线y=kx交于A、B两点,O是坐标原点,若向量OA+2OB=向量0,则|向量AB 设坐标原点是O,抛物线Y^2=2X与过焦点的直线交于AB两点,则向量OA乘以向量OB等于( ). 坐标原点为O,抛物线y^2＝2x与过焦点的直线交于A,B两点,则向量OA乘于向量OB＝? 过点(0,-1)的直线l与抛物线y=-x^2交与A,B两点,O是原点,则向量OA*向量OB= 平面直角坐标系xoy中,直线L与抛物线y^2=4x交于不同的A、B两点如果：向量OA乘向量OB=-4,证明直线L必过一已知圆X的平方+y的平方+8x-6y+21=0与直线y=mx交PQ两点,O为坐标原点,求向量OP乘向量OQ的值设椭圆的方程为X平方+Y平方/4=1,过M（0,1）的直线交椭圆于AB两点,O为坐标原点,OP向量=1/2(OA向量+O 急需"圆x+y+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0交于A,B两点,O为原点,且向量OA⊥向量OB,求实数m的值." （1）.如果直线X+Y=t 与圆X平方+Y平方=4 相交于A.B 两点 ,O为原点 ,如果OA向量与OB向量的夹角为60 已知直线l过点D（-2,0）,且与圆x^2/2+y^2=1交于不同的两点A,B,若向量OP=向量OA+向量OB,求点P的