△ABC中,AB=AC,P为BC上的任意一点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,BD为AC上的高,求证：PE+PF=BD

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 06:59:49

这是一道常见的几何证明问题,难度不大,但很经典,证明方法也很多.
证法一：
连接AP
则△ABC的面积＝AB*PE/2＋AC*PF/2＝(PE＋PF)*AC/2
而△ABC的面积＝BD*AC/2
所以：PE＋PF＝BD
即：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高
证法二：
作PG⊥BD,垂足为G
因为PG⊥BD,PF⊥AC,BD⊥AC
所以四边形PGDF是矩形
所以GD＝PF
因为AB＝AC
所以∠EBP＝∠C
因为GP//AC
所以∠GPB＝∠C
所以∠EBP＝∠GPB
又因为BP＝BP
所以△BPE≌△PBG（ASA）
所以PE＝BG
所以PE＋PF＝BG＋GD＝BD
证法三：
提示：
过B作直线PF的垂线,垂足为M
运用全等三角形同样可证
另外运用面积方法和三角函数也能进行证明
江苏吴云超解答　供参考!

几何画图题在三角形ABC中AB=AC,P为底边上的任意一点,PE⊥AB,PF⊥AC,BD⊥AC.求证：PE+PF=BD 如图,在三角形ABC中,AB=AC,P为BC边上任意一点,PF垂直AB于F,PE垂直AC于E,如果AB边上的高BD=a, 在三角形ABC中 AB=AC P为底边BC上一点 PE垂直于AB PF垂直于AC BD垂直于AC 如图,点P为等腰三角形ABC底边BC上的任意一点,PE垂直AB于E,PF垂直AC于F,BD是等腰三角形AC边上的高. 如图：AB=AC，AD⊥BC于D、P为AD上的一点，PE⊥AB于E，PE⊥AC于F，求证：PE=PF．在矩形ABCD中，已知AD=12，AB=5，P是AD上任意一点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，求PE+PF的值．已知，在△ABC中，AB=AC，D是BC边的中点，P是AD上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．试说明：（1）PE 在等腰直角△ABC中,D为斜边BC中点,P为BC上任意一点,且PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,求证：DE=DF（快啊）如图,在矩形ABCD中,AD=12,AB=5,P是AD边上任意一点,PE⊥BD于E,PF⊥AC于F,则PE+PF的值为如图在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,p为AB上一点,作PE⊥BC于E,PF⊥AC于F,M为AB的中点,连接ME, 如图：正方形ABCD中，AC=10，P是AB上任意一点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF=______．可以如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,点P在AD上,PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别为E,F,求证：PE=PF