在等边三角形ABC中,有任意一点P,到A、B、C的距离分别是3、4、5,请问角APB是多少度?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/04/30 00:38:29

答案是:角APB＝150度
设角PAB=Q,等边三角形边长为a
PA=3,PB=4,PC=5
根据题意,由余弦定理得:
cosQ=(AP^2+AB^2-PB^2)/2*AP*AB=(9+a^2-16)/6a=(a^2-7)/6a(1式)
角CAP=60-角PAB=60-Q
cos(60-Q)=(AP^2+AC^2-CP^2)/2*CA*AP=(9+a^2-25)/6a=(a^2-16)/6a(2式)
而
cos(60-Q)=cos60cosQ-sin60sinQ=cosQ/2-根号3*sinQ/2=(a^2-16)/6a (3式)
将(1式)代入(3式)得:
cosQ/2-根号3*sinQ/2=(a^2-16)/6a
1/2*(a^2-7)/6a-根号3*sinQ/2=(a^2-16)/6a
-根号3*sinQ/2=(a^2-16)/6a -1/2*(a^2-7)/6a (等式两边同时乘以2)得:
-根号3*sinQ=2*(a^2-16)/6a-(a^2-7)/6a
-根号3*sinQ=(2a^2-32-a^2+7)/6a
-根号3*sinQ=(a^2-25)/6a
根号3*sinQ=(25-a^2)/6a
sinQ=(25-a^2)/6a根号3
而(sinQ)^2+(cosQ)^2=1
所以:
[(25-a^2)/6a根号3]^2+[(a^2-7)/6a]^2=1
(25-a^2)^2/108a^2 +(a^2-7)^2/36a^2=1
令a^2=t
(25-t)^2/108t +(t-7)^2/36t=1
(625-50t+t^2)/108t +(t^2-14t+49)/36t-1=0
(625-50t+t^2)/108t+(3t^2-42t+147)/108t -108t/108t=0
(625-50t+t^2+3t^2-42t+147-108t)/108t=0
t不等于0
所以(625-50t+t^2+3t^2-42t+147-108t)=0
4t^2-200t+772=0
t^2-50t+193=0
根据求根公式得
t1=25+12根号3
t2=25-12根号3
由（1式）得
a>0
cosQ＞0即：
(a^2-7)/6a＞0
a^2>7
t2=25-12根号3＜7（不合题意,舍去）
所以t=25+12根号3
即a^2=25+12根号3
又cos角APB=(AP^2+BP^2-AB^2)/2*AP*BP=(9+16-a^2)/24=(25-a^2)/24
将a^2=25+12根号3代入上式得：
cos角APB＝(25-a^2)/24＝（25-25-12根号3)/24=-根号3/2
即：角APB＝150度

在等边三角形ABC中,有任意一点P,到A、B、C的距离分别是3、4、5,请问角APB是多少度? 等边三角形中一点P,到三顶点A、B、C的距离分别为3、4、5,求角APB的角度是多少? 等边三角形ABC内有一点P,点P到顶点A,B,C的距离分别为3,4,5,求角APB的度数. 等边三角形ABC内有点P,若P点到顶点A,B,C的距离分别为3,4,5,则角APB为多少度 (1)等边三角形ABC内有一点P,若点P到顶点A,B,C,D的距离分别为3,4,5,则角APB=?.(2）三角形ABC中等边三角形勾股定理已知等边三角形内一点P到三个顶点的距离分别为3 4 5 ,求角APB的度数等边ΔABC内有一点p.若点p到顶点A.B.C.的距离分别为3,4,5,求∠APB的度数一道超难几何题在一个120°的三角形ABC中,有任意一点P,求证：点P到A,B,C的距离和等于120°角的夹边和吓我么~ p是等边三角形ABC内一点,PC=5,PA=3,PB=4,求角APB的度数在△ABC中 AB=3,AC=5,角BAC=120度,其所在平面外一点P到A、B、C三个顶点的距离都是14，则P到直线B 怎样在三角形ABC中找一点P,使P到A、B、C三个顶点的距离相等等边三角形ABC内有一点P,若点P到顶点A,B,C的距离分别为3,4,5,则角ACP'=多少