作业帮求高数微分方程的通解,
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/13 06:38:59
求高数微分方程的通解,
设x=tanu,y=tanv
则dx/du=sec²u,dy/dv=sec²v
从而dy/dx=(sec²vdv)(/sec²udu)
原方程化为 (tanv-tanu)secu×(sec²vdv)/(sec²udu)=sec³v
整理得 (tanv-tanu)dv=secvsecudu
即 sin(v-u)dv=du
设t=sin(v-u)
v-u=arcsint
dv/du=dt/[du√(1-t²)]+1
从而得到 dt/[(t-1)√(1-t²)]=du
解之得 ln|t/[1+√(1-t²)]|-arcsint=u+C1
将t=sin(v-u)代入上式整理得
ln|[csc(v-u)+cot(v-u)]|=-v+C2
将x=tanu,y=tanv代入上式得
ln|{√[(1+x²)(1+y²)]+1-xy}/(y-x)|=-arctany+C
再问： 这个怎么想啊？
再答： 不是很明白你的意思.怎么想是什么意思呢?
再问： 思路，怎么就想到换成tan
再答： 这是因为 tan²x+1=sec²x 1-sin²x=cos²x 遇到√(a²+x²)就直接提a,然后换元t=tan(x/a) 遇到√(a²-x²)就直接提a,然后换元t=sin(x/a) 换元后可以直接去掉根号
则dx/du=sec²u,dy/dv=sec²v
从而dy/dx=(sec²vdv)(/sec²udu)
原方程化为 (tanv-tanu)secu×(sec²vdv)/(sec²udu)=sec³v
整理得 (tanv-tanu)dv=secvsecudu
即 sin(v-u)dv=du
设t=sin(v-u)
v-u=arcsint
dv/du=dt/[du√(1-t²)]+1
从而得到 dt/[(t-1)√(1-t²)]=du
解之得 ln|t/[1+√(1-t²)]|-arcsint=u+C1
将t=sin(v-u)代入上式整理得
ln|[csc(v-u)+cot(v-u)]|=-v+C2
将x=tanu,y=tanv代入上式得
ln|{√[(1+x²)(1+y²)]+1-xy}/(y-x)|=-arctany+C
再问： 这个怎么想啊？
再答： 不是很明白你的意思.怎么想是什么意思呢?
再问： 思路，怎么就想到换成tan
再答： 这是因为 tan²x+1=sec²x 1-sin²x=cos²x 遇到√(a²+x²)就直接提a,然后换元t=tan(x/a) 遇到√(a²-x²)就直接提a,然后换元t=sin(x/a) 换元后可以直接去掉根号