一个数论题.证明：如果正整数N可以表示是为都是3的倍数的三个整数的平方和,那么,它一定可以表示为都不是3的倍数的三个整数

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/18 07:47:33

一个数论题.
证明：如果正整数N可以表示是为都是3的倍数的三个整数的平方和,那么,它一定可以表示为都不是3的倍数的三个整数的平方和.在网上看到很多“无聊”的解答.请不要通过举一个例子就说已经证明.我要求证明.另外,不是通过程序验证.一个程序时不可能验证所有的正整数的.

因为N可以表示为3个3的倍数的平方和（好拗口）.所以可以设N=9^n*(a^2+b^2+c^2) 其中a不是3的倍数（这样做的目的是把N的分解式中的所有的9提出来.
然后,我们可以用有限递降来实现这个证明.
N=9^n*(a^2+b^2+c^2) =9^(n-1)*(9a^2+9b^2+9c^2) =9^(n-1)*[(2a+2b-c)^2+(2b+2c-a)^2+(2c+2a-b)^2](这一步的代数变形很巧妙,中间项正好都抵消了）
其中2a+2b-c=2（a+b+c)-3c 要使2a+2b-c不是3的倍数,只需2（a+b+c)不是3的倍数即可,如果3能整除a+b+c,则使-a代替a,因为a不是3的倍数,所以2（-a+b+c)就不是3的倍数.
按这种做法执行n次,就可以把9的次数降低为0,就实现了这个转化过程.
哈哈.我刚好前几天做了这道题.挺有趣的

一个数论题.证明：如果正整数N可以表示是为都是3的倍数的三个整数的平方和,那么,它一定可以表示为都不是3的倍数的三个整数有三个连续整数,其中最小的整数是n,那么,最大的整数可以表示为______, 1.三个连续整数,中间一个偶数是2n（n为自然数）,则它的前后两个数分别表示为（）,这三个连续整数的平方和为（）. 若一个正整数可以表示为两个整数的平方和,探究这个正整数的2倍能否表示为两个整数的平方和.请写出探究过试求最小的正整数,他可以被表示为四个正整数的平方和,且可以整除形如2+15的整数,其中n为正整数. N是整数用n表示下列各数：奇数、偶数、5的倍数、能被3整除的数、三个连续整数、被5除余1的整数所有偶数可以表示成2n(n为整数)的形式,使用一个恰当的式子表示所有5的倍数如果三个连续正整数的平方和为29,那么这三个数是初等数论证明：设m,n为整数,求证m+n,m-n与mn中一定有一个是3的倍数设n是整数,证明数M=n³+3/2n²+n/2为整数,且它是3的倍数. 求证:三个连续整数的乘积是3的倍数所以的偶数都可以表示2n(n为整数）的形式,使用一个恰当的式子表示所有5的倍数.大哥大姐帮帮我阿!