作业帮请教一个隐函数求导问题:
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/15 20:09:14
请教一个隐函数求导问题:
设P（4,-1）为椭圆x^2/6+y^2/3=1外的一点,过P做椭圆的切线,求切线方程
设P（4,-1）为椭圆x^2/6+y^2/3=1外的一点,过P做椭圆的切线,求切线方程
设P(4,-1)为椭圆x²/6+y²/3=1外的一点,过P做椭圆的切线,求切线方程
将椭圆方程两边对x求导,得(1/3)x+(2/3)yy'=0,故得椭圆的导函数y'=-x/(2y)；
设椭圆上的切点的坐标为(m,n),那么有等式：
(n+1)/(m-4)=-m/(2n),即有2n(n+1)=-m(m-4),2n²+2n+m²-4m=0.(1)
切点(m,n)在椭圆上,故其坐标满足椭圆方程,即有：
m²/6+n²/3=1,也就是有m²+2n²=6.(2)
将(2)代入(1)式得6+2n-4m=2(3+n-2m)=0,即有3+n-2m=0,故得n=2m-3.(3)
将(3)代入(2)得m²+2(2m-3)²=9m²-24m+18=6,即有9m²-24m+12=3(3m²-8m+4)=3(3m-2)(m-2)=0
故得m₁=2/3；m₂=2；相应地,n₁=2m₁-3=4/3-3=-5/9；n₂=2m₂-3=4-3=1；
于是得切线的斜率k₁=(n₁+1)/(m₁-4)=(-5/9+1)/(2/3-4)=-2/15；
k₂=(n₂+1)/(m₂-4)=(1+1)/(2-4)=-1；
于是的切线方程为y=-(2/15)(x-4)-1=-(2/15)x-7/15,写成一般形式就是：2x+15y-7=0；
及y=-(x-4)-1=-x+3,写成一般式就是x+y-3=0；
再问： 嗯，了解了。其中一个切线方程你计算错了…… 应该是x-5y=9
再答： 倒数第二行：应该是 2x+15y+7=0； 你的x-5y=9肯定是错的！因为这条直线不过P(4，-1)点。 画一个图，作出两条切线，你就可看到两个切点(2，1)和(2/3，-5/9) 与图形一致！
将椭圆方程两边对x求导,得(1/3)x+(2/3)yy'=0,故得椭圆的导函数y'=-x/(2y)；
设椭圆上的切点的坐标为(m,n),那么有等式：
(n+1)/(m-4)=-m/(2n),即有2n(n+1)=-m(m-4),2n²+2n+m²-4m=0.(1)
切点(m,n)在椭圆上,故其坐标满足椭圆方程,即有：
m²/6+n²/3=1,也就是有m²+2n²=6.(2)
将(2)代入(1)式得6+2n-4m=2(3+n-2m)=0,即有3+n-2m=0,故得n=2m-3.(3)
将(3)代入(2)得m²+2(2m-3)²=9m²-24m+18=6,即有9m²-24m+12=3(3m²-8m+4)=3(3m-2)(m-2)=0
故得m₁=2/3；m₂=2；相应地,n₁=2m₁-3=4/3-3=-5/9；n₂=2m₂-3=4-3=1；
于是得切线的斜率k₁=(n₁+1)/(m₁-4)=(-5/9+1)/(2/3-4)=-2/15；
k₂=(n₂+1)/(m₂-4)=(1+1)/(2-4)=-1；
于是的切线方程为y=-(2/15)(x-4)-1=-(2/15)x-7/15,写成一般形式就是：2x+15y-7=0；
及y=-(x-4)-1=-x+3,写成一般式就是x+y-3=0；
再问： 嗯，了解了。其中一个切线方程你计算错了…… 应该是x-5y=9
再答： 倒数第二行：应该是 2x+15y+7=0； 你的x-5y=9肯定是错的！因为这条直线不过P(4，-1)点。 画一个图，作出两条切线，你就可看到两个切点(2，1)和(2/3，-5/9) 与图形一致！