后留下的一个或两个同学中,站在第一号位上的同学在一开始站在什么号位上?

后留下的一个或两个同学中,站在第一号位上的同学在一开始站在什么号位上?

题目是：
1991名同学从左到右按编号1到1991排成一列,然后从左到右1至3报数,凡报2的同学留下,其余的同学都离开.留下的同学按原顺序向左看齐后再1至3报数,凡报2的同学留下,其余的同学都离开,留下的同学按原顺序向左看齐后再1至3报数,依次重复上面的做法,直到留下的学生人数比3少为止.问最后留下的一个或两个同学中,站在第一号位上的同学在一开始站在什么号位上?吧.
先从100人着手,看看有什么规律,能不能用这个规律解决这个问题,
因为100÷3=33余1,所以第一次报数后只留下33人,他们按原来编号排列如下:
2,5,8,11,14,17,20,23,…,92,95,98,而他们的新编号依次为1,2,3,…,31,32,33.
又因为5-2=3,8-5=3,…,95-92=3,98-95=3,所以第一次报数后站在新编号1,2,3,…,31,32,33等号位上的人,他们在开始队伍中的号位数,正好等于新号位数减1后与3相乘,再加2,也就是:
原号位数=(新号位数-1)×3+2
又因为33÷3=11,所以第二次报数后只留下11人,他们按原来的编号排列如下:
5,14,23,32,41,50,59,68,77,86,95
他们的新编号依次为:
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
又因为14-5=9,23-14=9,32-23=9,…,86-77=9,95-86=9,5=3+2,所以第二次报数后,站在新编号1,2,3,…,11等号位上的人,他们在一开始队伍中的号位数,正好等于新号位数减1与9相乘,再加3,加2,即
原号位数=(新号位数-1)×32+3+2
因为11÷3=3余2,所以第三次报数后只留下4人,他们按原来的编号排列如下:14,41,68,95.他们的新编号依次为1,2,3,4.
又因为41-14=27,68-41=27,95-68=27,14=9+3+2,所以第三次报数后,站在新编号1,2,3,4号位上的人,他们在一开始队伍中的号位数,正好等于新号位数减 1与 27相乘,再加 9,加3,加2,也就是:
原号位数=(新号位数-1)×33+32+3+2
又因为4÷3=1余1,所以第四次报数后只留下1人,他就是41号,而41=27+32+3+2.
如果我们用a,b分别代表原号位与新号位数,那么经过第一,二,三,四次报数后,a,b之间存在下面的关系式:
a=(b-1)×3+2
a=(b-1)×32+3+2
a=(b-1)×33+32+3+2
a=(b-1)×34+33+32+3+2
分析对比这四个式子和报数的关系后,可得到一个更一般的关系式,即第k次报数后,a与b之间的关系可用下式表示:
a=(b-1)×3k+33k-1+…+32+3+2
因为1991÷3=663……2,
664÷3=221……1,221÷3=73……2,
74÷3=24……2,25÷3=8……1,
8÷3=2……2,3÷3=1,
即1991名同学要报7次名后,最后才剩1人,也就是上面一般等式中的k=7,就有
a=(1-1)×37+36+35+34+33+32+3+2
=2+3+9+27+81+243+729
=1094
这就说明了最后站在第一号位上的同学一开始站在1094号位上.