f(0)=0,为什么lim h->0[f(2h)-f(h]/h不能保证f'(0)存在

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/06/02 02:34:47

f(0)=0,为什么lim h->0[f(2h)-f(h]/h不能保证f'(0)存在
补充一下,f(x)在x=0某邻域内有定义.
真不好意思，我无法明白的是为什么ln 的那个就利用了连续，但2h的却没利用？2h 的那个不知道是否连续，那么难道ln的就连续了？=.=

如果f(h)是h的连续函数就没有问题了.
反例：f(x)=x+1,当x不为0时；
f(x)=0,当x=0时；
此时lim (f(2h)-f(h))/h=1,
但f(x)在x=0不连续,当然不可导.
其实两个问题最大的区别就是f(ln(1-h))/h利用了
f(0)的信息,这个表达式就是
(f(ln(1-h))-f(0))/ln(1-h)* ln(1-h)/h,因为ln(1-h)/h极限是-1,
所以f(ln(1-h))/h极限存在等价于(f(ln(1-h))-f(0))/ln(1-h)
=(f(t)-f(0))/t,其中t=ln(1-h).
而(f(2h)-f(h))/h与f(0)实际上无关.
化简以后还是没有利用f(0)的信息.
最主要的就是(f(h)-f(0))/h这个表达式你得保证
极限的存在性.(f(ln(1-h))-f(0))/ln(1-h)按照上面的分析是有极限的,
实际上利用了f(x)在x=0的连续性.
但(f(h)-f(0))/h在第一种情况下你不知道极限是否存在.
如果存在就没有问题了（因此若加上条件f(x)在x=0连续,就是可导的
一个等价定义）,但不存在的话这么加上f(0)减去f(0)的做法是没有任何用处的.
再补充一下,其实这就是极限的四则运算的性质：
若f(h)－g(h)的极限存在,你不能保证f(h)和g(h)极限都存在,但若其中一个存在,
另一个必然存在；f(h)*g(h)极限存在,也不能保证f(h)和g(h)极限都存在,但若
其中一个存在且不为0,则另一个极限必然存在.上面说的就是这个道理而已.
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