已知S(x)=a1x+a2x^2+...+anx^n,且a1,a2,...,an组成等差数列,n为正偶数

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 03:36:10

已知S(x)=a1x+a2x^2+...+anx^n,且a1,a2,...,an组成等差数列,n为正偶数
设S（1)=n^2,S(-1)=n
(1)求数列{an}的通项公式
(2)证明S(1/2)<3

（1）
因a1,a2,...,an组成等差数列,所以设公差为d,
又因S（1)=n^2,则
a1+a2+...+an=n^2,则由等差数列求和公式Sn=[2na1+n(n-1)d]/2可得
[2na1+n(n-1)d]/2=n^2,化简得
a1+d(n-1)/2=n,即a1=n(1-d/2)+d/2,
因为a1是等差数列的首项,所以和n无关,故1-d/2=0,即d=2
所以a1=1,得an=a1+(n-1)d,带入an=1+(n-1)*2,
得{an}的通项公式为 an=2n-1；
（2）
由（1）可得S(x)=x+3x^2+5x^3+...+(2n-1)x^n,则
S(1/2)=(1/2)+3*(1/2)^2+5*(1/2)^3+...+(2n-1)*(1/2)^n,
(1/2)S(1/2)=(1/2)^2+3*(1/2)^3+5*(1/2)^4+...+(2n-1)*(1/2)^(n+1),则
S(1/2)-(1/2)S(1/2)=(1/2)+2*(1/2)^2+2*(1/2)^3+...+2*(1/2)^n-(2n-1)*(1/2)^(n+1),化简得
(1/2)S(1/2)=-(1/2)+(1-(1/2)^n)/(1-(1/2))-(2n-1)*(1/2)^(n+1),
S(1/2)=-1+4-(1/2)^(n-2)-(2n-1)*(1/2)^n,
S(1/2)=3-(1/2)^(n-2)-(2n-1)*(1/2)^n,
所以S(1/2)

已知S(x)=a1x+a2x^2+...+anx^n,且a1,a2,...,an组成等差数列,n为正偶数已知f(x)=a1x+a2x+ a3x+…+anx,且a1,a2,a3,…,an组成等差数列（n为正偶数）,又f(1)= 已知发f(x)=a1x+a2x方+a3x的3次方+.+anx的n次方,且a1,a2,a3,.an组成等差数列（n为偶数）已知f（x）=a1x+a2x²+.+anx＾n,且a1,a2.an组成等差数列（n为正整数）,f(1)=n&s 已知S（x）=a1x+a2x^2+L+anx^n,且a1,a2,L,an,组成等差数列,设S(1)=n^2 函数f(x)=a1x+a2x^2+.+anX^n,a1,a2,a3,...an成等差数列,n为正偶数,又f(1)=n^2 已知函数f(x)=a1x+a2x²+…+anxⁿ,a1,a2,a3,…an组成等差数列,其中n为正已知f(x)=a1x+a2x^2+a3x^3+...+anx^n,n为正整数,a1,a2,a3,...an组成等比数列, 函数f(x)=a1x+a2x^2+.+anX^n,a1,a2,a3,...an成等差数列 {an}是等差数列,设fn(x)=a1x a2x^2 ...anx^n,n是正偶数,且已知fn(1)=n^2,fn(-1 在恒等式(1+X)^n=a0+a1X+a2X^2+……+anX^n（n为偶数）中,a0+a1+a2+……+an=? 已知数列{an}和函数fn（x）=a1x+a2x^2+…+anx^n.当n为正偶数时,fn（-1）=n:已知数列{an}