（2013•湖州一模）如图，平面直角坐标系xOy中，Rt△AOB的直角边OA在x轴的正半轴上，点B在第一象限，并且AB=

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/18 05:59:41

（2013•湖州一模）如图，平面直角坐标系xOy中，Rt△AOB的直角边OA在x轴的正半轴上，点B在第一象限，并且AB=3，OA=6，将△AOB绕点O逆时针旋转90度得到△COD．点P从点C出发（不含点C），沿射线DC方向运动，记过点D，P，B的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a＜0）．
（1）直接写出点D的坐标．
（2）在直线CD的上方是否存在一点Q，使得点D，O，P，Q四点构成的四边形是菱形？若存在，求出P与Q的坐标．
（3）当点P运动到∠DOP=45度时，求抛物线的对称轴．
（4）求代数式a+b+c的值的取值范围（直接写出答案即可）．

（1）∵△AOB绕点O逆时针旋转90度得到△COD，
∴OC=OA=6，CD=AB=3，
∵点D在第二象限，
∴D（-3，6）；

（2）在直线CD的上方是否存在一点Q，使得点D，O，P，Q四点构成的四边形是菱形．理由如下：
∵四边形DOPQ是菱形，
∴CD=CP=3，CQ=OC=6，
∴OQ=6+6=12，
∴点P（3，6），Q（0，12）；

（3）如图，延长AB交直线DP于点H，连接BP，
由旋转的性质得，∠AOB=∠COD，OA=OD，
∵∠DOP=45°，

∴∠DOC+∠COP=∠AOB+∠COP=45°，
∴∠BOP=90°-（∠AOB+∠COP）=90°-45°=45°，
∴∠BOP=∠DOP，
在△BOP和△DOP中，

OA＝OD
∠BOP＝∠DOP
OP＝OP，
∴△BOP≌△DOP（SAS），
∴PB=PD，
设P（x，6），
则PB=DP=x+3，
在正方形OAHC中，PH=6-x，BH=6-3=3，
在Rt△BPH中，由勾股定理得，PH²+BH²=PB²，
∴（6-x）²+3²=（3+x）²，
解得，x=2，
∴P（2，6），
又∵D（-3，6），
∴对称轴是直线x=
−3+2
2=-
1
2；

（4）∵B（6，3），D（-3，6）在抛物线上，
∴

36a+6b+c＝3
9a−3b+c＝6，
∴b=-3a-
1
3，c=5-18a，
∴a+b+c=-20a+
14
3，
可得开口越小，a+b+c越大，
∴点C、P重合时，x=1时，a+b+c的值最大，
此时，P（0，6），
∵B（6，3），D（-3，6）在抛物线上，
∴

36a+6b+c＝3
9a−3b+