证明：如果一个球面的球心坐标（x0，y0，z0）中至少有一个是无理数，则此球面上任何四个不在同一平面上的点中至多有三个点

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/15 09:44:59

证明：如果一个球面的球心坐标（x₀，y₀，z₀）中至少有一个是无理数，则此球面上任何四个不在同一平面上的点中至多有三个点使其坐标都是有理数．

球面的标准方程为：(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2＝r2．
利用反证法进行证明．
假设结论不成立，即：球面上存在四个不在同一平面上的点P_i（x_i，y_i，z_i）（i=1，2，3，4），其坐标都是有理数．
将点P_i的坐标代入圆的标准方程，并将P₁，P₂与P₃满足的方程减去P₄满足的方程可得，
（x_i-x₄）（x_i+x₄-2x₀）+（y_i-y₄）（y_i+y₄-2y₀）+（z_i-z₄）（z_i+z₄-2z₀）=0，
即：2（x_i-x₄）x₀+2（y_i-y₄）y₀+2（z_i-z₄）z₀=（x_i-x₄）（x_i+x₄）+（y_i-y₄）（y_i+y₄）+（z_i-z₄）（z_i+z₄），①
其中i=1，2，3．
假设P₁，P₂与P₃共面，其平面方程为：

.
x−x1y−y1z−z1
x−x2y−y2z−z2
x−x3y−y3z−z3.＝0．②
因为P_i（i=1，2，3，4）不共面，
所以P₄（x₄，y₄，z₄）不满足方程②，
从而①的系数矩阵非零，
从而方程组存在唯一的解．
利用克莱姆法则可得，方程①的（x₀，y₀，z₀）可以写成关于P_i（x_i，y_i，z_i）（i=1，2，3，4）的坐标的分式形式，
又因为P_i（x_i，y_i，z_i）（i=1，2，3，4）的坐标均为有理数，
所以x₀，y₀，z₀均为有理数，
与（x₀，y₀，z₀）中至少有一个是无理数相矛盾，
故假设不成立．
因此，球面上任何四个不在同一平面上的点中至多有三个点使其坐标都是有理数．

证明：如果一个球面的球心坐标（x0，y0，z0）中至少有一个是无理数，则此球面上任何四个不在同一平面上的点中至多有三个点如果一个圆的圆心坐标（a,b）,且a,b中至少有一个是无理数.求证：该圆上不可能有三个有理点(横纵坐标均是有理数的点）求函数u=x+y+z在球面x^2+y^2+z^2=1上点（x0,y0,z0）处,沿球面在该点的外法线方向的方向导数球面上有三个点A、B、C组成球的一个内接三角形，若AB=18，BC=24，AC=30，且球心到△ABC所在平面的距离等于 1.已知ABCD是同一球面上的4点,且每两点间距离相等,都等于2,则球心到平面BCD的距离是空间有四个点，如果其中任意三个点都不在同一直线上，那么过其中三个点的平面（　　）已知球的半径为根号5,球面上有A,B,C三点,如果AB=AC=2,BC=2根号3,则球心到平面ABC的距离是同一平面内有四个点,这四个点中,任意三个点不在同一直线上,且四个点中任意两点间的距离只有两个不同的设A,B,C,D是球面上的四个点,且在同一平面内,AB=BC=CD=DA=3,球心到该平面的距离是球半径的一半球面上有七个点其中四个点在同一个大圆上其余再无三点共一个大圆也无两点与球心共线半径为3的球面上有A,B,C3点.角ABC=90度.BA=BC,球心O到平面ABC的距离是2分之3倍根号2.求BC球面距已知球面上有三点A、B.C，此三点构成一个边长为1的等边三角形，球心到平面ABC的距离等于球半径的13，则球半径是（