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如果a是f"'(x)k重根试证a是g(x)=1/2(x-a)(f'(x)+f'(a))-f(x)+f(a)的k+3重根

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/07 20:53:39
如果a是f"'(x)k重根试证a是g(x)=1/2(x-a)(f'(x)+f'(a))-f(x)+f(a)的k+3重根
如果a是f'''(x)k重根试证a是g(x)=1/2(x-a)(f'(x)+f'(a))-f(x)+f(a)的k+3重根,
易知 g(a)=0 (1)
g'(x)=1/2[(f'(x)+f'(a))+(x-a)*f"(x)]-f'(x) => g'(a)=0 (2)
g"(x)=1/2[f"(x)+(x-a)*f'''(x)+f"(x)]-f"(x)
g"(x)=1/2*(x-a)*f'''(x) 又f'''(a)=0 => g"(a)=0
由上式可知 (g"(x)/(x-a))^(k)=f^(k)(x) 因为a是f'''(x)k重根
故 a是g"(x)/(x-a)的 k重根
从而 a是g"(x)的 k+1重根
再由 (1)(2) a是g(x)的 k+3重根