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已知△ABC,AD是角BC边上的中线,分别以AB边、AC边为直角边各向形外做等腰直角三角形,如图.求证EF=2AD.

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/13 01:33:43
已知△ABC,AD是角BC边上的中线,分别以AB边、AC边为直角边各向形外做等腰直角三角形,如图.求证EF=2AD.
延长AD,使AD=DM
连接BM
∵AD是角BC边上的中线,即BD=CD
AD=DM
∠BDM=∠ADC
∴△ACD≌△BDM
∴∠DAC=∠BMA
∵△ABE和△ACF是等腰直角三角形
∴∠BAE=∠CAF=90°
AE=AB,AC=AF……(1)
∵∠EAF+∠BAC=360°-(∠BAE+∠CAF)=180°
∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+∠BMF
∠ABM+∠BAD+∠BMA=∠ABM+∠BAC=180°
∴∠EAF=∠ABM……(2)
∴△AEF≌△ABM(SAS)
∴EF=AM=AD+DE=2AD