如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，F是PB的中点．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 19:20:04

（1）求证：DF⊥AP；
（2）在线段AD上是否存在点G，使GF⊥平面PBC？若存在，说明点G的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．

证明：（1）取AB中点E，连接EF，DE
∵E，F分别是AB，PB的中点，
∴EF∥AP，
∴AP 和DF所成的角即为EF和DF所成的角，即∠DFE或其补角；
由已知四边形ABCD是正方形，
假设PD=DC=a，
则有DB=
2a，PB=
3a，DF=

3
2aAE=
a
2，DE=

5
2a，PA=
2a，EF=

2
2a
∴cos∠DFE=
DF2+EF2-DE2
2DF•EF=0，
∴DF⊥EF，∴DF⊥AP．
（2） G是AD的中点时，GF⊥平面PCB．

证明如下：取PC中点H，连接DH，HF．
∵PD=DC，∴DH⊥PC．
又∵BC⊥平面PDC，∴DH⊥BC，
∵DH⊥PC，DH⊥BC，PC∩BC=C，PC，BC⊂平面PBC
∴DH⊥平面PCB．
∵HF∥BC，且HF=
1
2BC，∴HF
∥
.GD，
∴四边形DGFH为平行四边形，DH∥GF，
∴GF⊥平面PCB．