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在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形且PA⊥面ABCD ①求证PC⊥BD  ②过直线BD垂直

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/09 15:57:38
在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形且PA⊥面ABCD ①求证PC⊥BD  ②过直线BD垂直于直线PC的平面交于点E,如果三棱锥E—BCD的体积到最大值,求此时四棱锥P—ABCD的高
①连AC交BD于O
∵PA⊥平面ABCD
∴PA⊥BD
∵ABCD是正方形
∴BD⊥AC
∵PA∩AC=平面PAC
∴BD⊥平面PAC
∵PC∈平面PAC
∴BD⊥PC


作EF⊥AC于F,连OE
∵PC⊥平面BDE
∴PC⊥OE
∴当PA的长度变化时,点E的轨迹是以OC为直径的半圆
∴当EO=EC时EF有最大值
此时PA=AC=√2·AB=√2
∵PA就是四棱锥P-ABCD的高
∴当四棱锥的高为√2时,三棱锥E-BCD有最大值