在平面直角坐标系中 已知点A（0,4根号3）点B在X正半轴上 且∠ABO=30°动点P在线段

在平面直角坐标系中 已知点A（0,4根号3）点B在X正半轴上 且∠ABO=30°动点P在线段
图1,在平面直角坐标系中,已知点A（0.,4根号下3）,点B在x正半轴上,且∠ABO=30°,动点P在线段AB上从点A向点B 以每秒 根号下3 个单位的运动速度,设运动时间为t秒,在x轴上取两点M,N作等边△PMN.（1）求直线AB的解析式.（2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示）,并求出当等边△PMN的顶点M运动到与原点O重合时t的值（3）如果去OB的重点为D,以OD为边在RT△AOB内部作如图2所示的矩形ODCD,点C在线段AB上,设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S,请求出当0＜t≤2秒时S与t的函数关系式,并求出S的最大值 

1）求直线AB解析式； 在Rt△ABO中,AO=4√3,∠ABO=30° 所以,AB=2AO=8√3 故根据勾股定理有,B0=12 所以,B(12,0) 设AB所在直线的解析式为：y=kx+b 将A(0,4√3)、B(12,0)代入上式,得到：k=-√3/3 b=4√3 所以,y=(-√3/3)x+4√3 （2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示）,并求出当等边△PMN的顶点M运动到与原点O重合时t的值； 因为△PMN为等边三角形,所以：∠MPN=∠PNM=60° 而,∠PNM=∠NPB+∠B=∠NPB+30° 所以,∠NPB=30° 所以,∠MPB=∠MPN+∠NPM=60°+30°=90° 即,MP⊥AB 亦即,△MPB为直角三角形 又,PM=MN=PN=BN 所以,N为Rt△MPB中点 所以,PM=MN=PN=BM/2 当AP=√3t时,PB=8√3-√3t=√3*(8-t) 那么,在Rt△MPB中,MBP=30° 所以,BM=[√3*(8-t)]/(√3/2)=2*(8-t) 所以,PM=NM=PN=BM/2=(8-t) 当M与O重合时,Rt△PMB即为Rt△PBO 此时,PM=PO=BO/2=6 所以：8-t=6 t=2 （3）如果取OB的中点D,以OD为边在Rt△AOB内部作如图2所示的矩形ODCE,点C在线段AB上,设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S,请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式,并求出S的最大值.如图,设PM交CE于F,交AO于H；PN交CE于G 由（2）知,当t=2时,M与O重合 而,当t=1时,PM经过点E 所以,当0≤t≤1时,△OMN与矩形ODCE的重叠部分为直角梯形ONGE 而,当1≤t≤2时,△OMN与矩形ODCE的重叠部分为图中阴影部分 过点P作AO的垂线,垂足为Q；作CE的垂线,垂足为S 因为D是BO中点,所以：C、E分别为AB、AO中点 所以,点C(6,2√3) 因为PQ//CE//BO 所以：AP/AC=PQ/CE 即：(√3t)/(4√3)=PQ/6 所以,PQ=3t/2 所以,由勾股定理有：AQ=√3t/2 所以,QE=PS=AE-AQ=2√3-(√3t/2) 因为CE//BO,所以：△PFG∽△PMN 即,△PFG也为等边三角形 而,PS⊥FG 所以,S为FG中点 且∠GPC=∠GCP=30° 所以,PG=GC 那么,FG=GC=(2/√3)*PS=(2/√3)*[2√3-(√3t/2)]=4-t 而,CE=OD=6 所以,EF+FG+GC=EF+2*FG=EF+(8-2t)=6 所以：EF=2t-2 所以,EG=EF+FG=2t-2+4-t=t+2 而,在Rt△EFH中,∠EHF=30° 所以,EH=(√3)EF 所以,Rt△EFH的面积=(1/2)EF*EH=(√3/2)EF^2 =(√3/2)*[2(t-1)]^2 =2√3(t-1)^2 由（1）知,BN=PN=8-t 所以,ON=OB-BN=12-(8-t)=4+t 所以,直角梯形ONGE的面积=[(EG+ON)*OE]/2 =[(t+2+4+t)*2√3]/2 =2√3(t+3) 所以,阴影部分的面积S=[2√3(t+3)]-[2√3(t-1)^2] =(2√3)[(t+3)-(t-1)^2] =(2√3)(-t^2+3t+2) 因为1≤t≤2,所以,二次函数-t^2+3t+2有最大值 则,当t=-b/2a=3/2时：Smax=17/4