相对论相关 圆周率问题和双生子佯谬

相对论相关 圆周率问题和双生子佯谬
第一个问题,在飞速旋转的圆盘上测试圆周率大于3.14,不明白.一般的解释为,在高速旋转的盘子上测周长时,尺子变短,所以测出的值大拉了,而直径不变.我的问题时,尺子变短,周长本身就不变短了吗?尺子相对盘子边缘是静止的,为什么认为尺子变短而周长不变?
第二个问题.双生子佯谬中,结论为去过太空的人年轻.一般的解释为,去过太空的人经历过加速减速过程,而这个过程可以使时钟变慢.我的问题是,当地球上的人A看去太空的人B时,认为B在加速减速,那B同样看A在经历相同的过程,这样A的时钟相对与B是变慢的.这样,无论如何分析,A和B在看待运动方面总是对称的,永远得出A比B年轻并且B比A年轻的结论.何种原因导致了A与B的不等同?
对吴越之梦回答的看法。多谢细心解答，但请半定量分析。我现在承认能够区分你所谓的真实运动。仍然考虑飞船问题。A在地球不动，B乘飞船出行再回到地球。分六个个阶段：1，B加速离去；2，B匀速一段时间；3，B减速到0；4，B加速回返；5，B匀速一段时间；6，B减速到0到达地球。B在2，5中，与A等价，对方互觉是对方的时钟变慢，所以最重B年轻的效果只能由其他阶段产生。由于这4个加速减速过程是完全等价的（不考虑方向，且假设加减速所用时间相等），所以只能认为任意一个阶段都导致了B的时钟变慢（符合广义相对论中引力场下时钟变慢的推论）。但是！如果2，5阶段的时间足够长！会导致B认为A的时钟足够慢，以至于其他4个加速减速阶段导致的B时钟变慢而被抵消，从而使得最重在地球的比较A比B年轻。因为加速度（或引力场）引起的时钟变慢只与加速度大小（引力场大小）决定，所以只要那4个阶段加速度不大，而匀速运动的时间足够长，这个分析就应该成立。
我坚信相对论，并且深信是因为自己不理解导致的分析矛盾。望高人指点。

第一个问题这样来考虑：转动的测量者S'完成测量所用的尺子总数或放置次数N在转动者S'和静止者S两者看来都是一样的,抓住这个不变量,问题就明朗了——先从静止者S观察,圆周长为C=2πR,动尺围了N把或共放置N次完成测量,故C=NL,由于动尺缩短,固有长度为L'的尺子收缩为L=L'√(1-v²/c²),于是有C=NL'√(1-v²/c²)；而从转动者观察,在圆周上共测了N次或放置了N把尺子,故周长为C'=NL'=NL/√(1-v²/c²)=C/√(1-v²/c²)=2πR/√(1-v²/c²),由于径向半径R始终垂直于运动方向而不变,故可推知转动者测得的圆周变长,圆周率变大.
事实上,假设静止者和转动者使用同样的尺子,转动的测量者S'完成测量所用的尺子总数或放置次数N要比静止的测量者S完成测量所用的尺子总数或放置次数n大,关系为N=n/√(1-v²/c²).
关于 吴越之梦 的疑问：我理解你的意思,你是说从任何一个瞬间看来,运动者所在处圆周的一小段在运动方向上发生收缩,如果把每处的收缩合起来,似乎圆周长应缩短.但问题是,运动者看到的不再是正圆C,而是一个随他一起旋转的椭圆E',在运动切向上的圆直径D=2R收缩为椭圆的短轴D'=2R√(1-v²/c²)；而他进行测量的地方在旋转椭圆E'的长半轴R处,转动一周过程中随动测量的是以这个旋转椭圆E'的长轴D=2R为直径的正圆C',变换到静止坐标系中即是以垂直于瞬时运动方向的圆直径D=2R为短轴、以运动切向上大于圆直径D的2R/√(1-v²/c²)为长轴的旋转大椭圆E,而不是原来的正圆C；但静止观察者看到转动者测量时又总是在这旋转大椭圆E的短半轴R处放置尺子L=L'√(1-v²/c²),共这样进行了N次完成测量,因为静止的圆周C上共放置了N次动尺L量完,故存在关系C=NL.这在转动者看来里,“圆周”(在静止惯性系中是大椭圆E)长C'=NL'=NL/√(1-v²/c²)=C/√(1-v²/c²)=2πR/√(1-v²/c²).
而静止惯性系中测量的正圆C,在转动者看来测量的不是正圆,而是短轴为D'=2R√(1-v²/c²)、长轴为D=2R的椭圆E',且在各处放的尺子长度不一,L'(x,y)=√[Lx²(1-v²/c²)+Ly²],各放了dn次,周长积分为E'=∮L'(x,y)dn=πR[1+√(1-v²/c²)]；而在静止惯性系中看来,C=nL=2πR.
可以设想这样一种有趣的情况：先在静止惯性系中放置一圈尺子,然后让它们转起来,会发现这转动的圆周长缩短了,因为尺子数不变,而每把尺子都缩短了,即转动的物体在静止惯性系中呈现出圆周率变小的黎曼几何特征,但与之重合的静止圆周长却没变；而在同步转动的观察者看来,尺子摆的不是正圆,而是扁缩的椭圆,当他测“圆周”时测得圆周率变大,他测的圆周实际上是静止惯性系中的大椭圆.
可见对二者而言的“圆周”是不同的,转动系的“圆周”是静止系的大椭圆,而静止系的圆周是转动系的小椭圆,由此造成测量结果的不同,也可以看出圆周率等几何特征在不同的参照系中一般不再相同,几何测量也随参照系变化；实际上,时间测量也相应变化.在转动体系中,基于中心静止点建立的静止惯性系时空坐标对各处转动部分而言不再具有实际测量意义,体系各处的时空标准和圆周率等时空几何特征都不再一致,动力学原因是各处的加速度不一致,几何描述是各处的时空曲率不一致.
第二个问题问得很好,因为通常的解释只强调了加速度的广义相对论效应,而忽视了相对运动的狭义相对论效应.事实上,一旦加速过程固定,加速度所引起的时间延缓量也就确定了,这时相对运动引起的时间延缓量将成为关键.
lz的考虑(“如果2,5阶段的时间足够长!会导致B认为A的时钟足够慢,以至于其他4个加速减速阶段导致的B时钟变慢而被抵消,从而使得最重在地球的比较A比B年轻”)有一定的道理,但缺陷在于未考虑到B的坐标系时间变化.
由于B的速度变化了,其所在的参照系也就变化了,时间坐标也相应变化；当B从匀速运动静止下来,其固有时间即自身年龄就与参照系时间坐标发生分化,会发现坐标系时间由于坐标转换而迅速推前,最终的坐标时间将等于A的年龄,比自己的年龄大,即B将测得A的年龄迅速增大,其中既有B自身变速延缓时间的效果,又有B所处坐标系不断变化最终变换到A所在坐标系的效果.
所以即使不考虑B的加速度造成的时间延缓,由于B的速度变化造成的坐标系时间对自身年龄的偏离,当B最终回归到A坐标系时,也会发现A的年龄大.这可以借助时空图分析,也可以参考下面的小例子：
甲乙年龄相等都为零岁,甲乙在地球上,现在乙以很高的速度离开了地球,然后乙自己感觉过了一年就又回来了（乙用自己的钟来计算时间）,可是这个期间,甲对乙的观察得出的结论是：乙用了一百年的时间才飞回来（甲也用自己的钟计算时间）,问题是：现在谁更年轻?到底是多少岁的甲见到了多少岁的乙?
问题可以简化在狭义相对论框架内解决,即设想这样一种理想情形：
乙从地球瞬间加速到v,离去一段时间后,又瞬间调头,以原来速度大小折返地球,然后瞬间降落.由于是瞬间变速,故不必考虑加速过程的广义相对论效应,只需考虑匀速直线运动过程的狭义相对论效应.取甲开始时的时空坐标为甲乙共同原点.
当乙离开半年调头前,乙测得时间过了0.5年,而甲只过了0.005年,比自己年轻0.495岁,因为在乙参照系中甲时空坐标为(x',t')=(-0.5v,0.5),相当于甲(地球)参照系中的(x,t)=(0,0.005),即乙参照系中测的甲年龄是在甲参照系中时间过了0.005年时的甲年龄；而在甲参照系中甲时空坐标为(x,t)=(0,50),相当于乙参照系中的(x',t')=(-5000v,5000)；同理,在乙参照系中乙时空坐标为(x',t')=(0,0.5),相当于甲参照系中的(x,t)=(50v,50)；这时乙若突然相对甲静止,则乙的时空坐标系将突然变换到甲参照系,发现自身所处时间坐标实际上已经是50年,而自己的年龄只有0.5岁,这时测得的甲年龄即是50岁,等于甲参照系的时间.
同样,当乙离开半年突然调头后,v变为-v,乙的时空坐标发生反射变换,在乙参照系中甲时空坐标变为(x',t')=(0.5v,0.5),相当于甲瞬间位移,由在-0.5v处以v远离突然变到在0.5v处以-v接近,即相当于乙参照系中的时空坐标突然反向回到1年前,位移为(-v,0)或(0,-1)；但就年龄测量而言,在甲参照系中甲年龄时空坐标为(x,t)=(0,50),在乙参照系中由原来的(x',t')=(-5000v,5000)突变到现在的(x',t')=(5000v,5000),相当于乙的时空原点突然位移为(-10000v,0)或等效于(0,-10000),即相当于乙参照系中时间原点突然反向回溯10000年,而由上面论述已知乙参照系中甲的时间坐标反向回溯1年,于是甲在乙参照系中的相对时间坐标由0.5年跳变为0.5+10000-1=9999.5年,相对时空坐标由(-0.5v,0.5)变为(9999.5v,9999.5),相当于甲参照系中的(0,99.995), 效果是乙参照系测量甲的年龄由0.005岁突然跳变成99.995岁,这可由二者的时空图投影看出；于是当乙再过半年回到地球时,会发现甲的年龄增加了0.005岁而变为100岁,自身则是0.5+0.5=1岁.
关于楼主的补充：
1.双子佯谬.楼主的理解基本正确,不过误解了我的不考虑加速度的时间延缓效应——我的意思是由于加速度的存在,除了相对运动造成的时间延缓效应,还存在加速度造成的时间延缓效应,这样计算结果是甲过了100年时,乙回来还不到1岁；但是把问题限定在狭义相对论范畴中,忽略掉加速度的时间延缓效应,比如理想化成“瞬时变速”,则乙回来时刚好1岁.而谁受到了加速度,并不因两者之间存在相对加速度而不可确定,因为其中一者可以感觉到自身运动状态的改变即加速度的存在,而另一者则感不到自身运动状态的变化.
2.圆盘问题.如何理解在我们的世界中,这一圈尺子的周长变短,而直径不变?可以认为动尺与我们之间的空间发生了弯曲,偏离了与我们相对静止的平直空间,想象成我们眼中的转盘平面在物理上弯曲成了球面,虽然圆心到圆周的半径(类似从地球北极到赤道的球面经线的长度)不变,但圆周长却缩短了(类似的球面赤道周长要比同样半径的平面圆周长短).所以我们可以认为旋转物体处在弯曲空间中,用我们惯常的平直空间无法对其作出合理解释.
如何理解广义相对论中对引力场造成时钟变慢,尺缩等效应?最好的理解方法是借助广义相对论方程去分析,可以看到由于引力场强的地方时空度规对平直时空的偏离较大,当把那里的固有时间或距离变换成广义时空坐标时,就会看出钟慢尺缩.采用浅易的例子也可以帮助初步理解,比如转盘,我们已经看到,转盘上的固有圆周长由于尺缩效应而在圆心建立的惯性坐标系中测得变小,这结合对瞬时的狭义相对论性分析进行综合可以得到,同样时间延缓也可以得到；但一般的理解只停留在从狭义相对论得到的简单关系上,所以说不清到底是狭义相对论还是广义相对论的效应.
其实狭义相对论的分析只适用于瞬时一点,并且具有相对性,即对静、动坐标系中瞬间重合的点之间相互适用狭义相对论关系；但当分析转动者的循环一周时,狭义相对论的分析原理上不能简单地推广,否则会得出矛盾的结论.这时由于加速度的存在,静、动系重合点处瞬时局部所体现出的相互对称性在广域上失效,只有动系对静系的局部狭义相对论关系在整体上起作用,正如双子佯谬中变速者对匀速者的关系.也正是这样,整体广义相对论效应在一定程度上体现出与狭义相对论效应一致的数量关系,但单纯的狭义相对论效应却不能导致非相互对称性的钟慢尺缩效应.因此楼主提到的“外边缘速度快,根据狭义相对论所以时钟慢,而这里加速度大,等效为引力场强,得出引力场强的地方时钟慢”这一推理是形象的简单说法,实际上不是这样的,因为严格的分析比较抽象,所以很多书上就这样不严谨的提一下.严格来说,这种推理是不正确的,帮助简单了解可以,但若用来作逻辑分析就是误导人了.看得出楼主很爱深入思考,这是很有好处的,但若要深入理解,就不要局限于这样的浅显例说,最好是对非欧几何和广义相对论的数理分析有一定基础,高中甚至大学的数学和物理都不太够,比较难搞清楚.所以鼓励楼主继续深造,才能更好的深入探索.
另外,引力场中的运动物体,时间延缓既有引力效应,也有运动效应,而从其随动广义坐标系中看只有引力效应,从局部静止惯性系看只有运动效应；狭义相对论效应作为局部效应包含在广义相对论效应中.