作业帮定积分与积分变量无关的一道证明题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/12 17:25:39
定积分与积分变量无关的一道证明题
因为 t 的范围是 a ≤ t ≤ x,且 f(x) 导数小于零,那么 f(x) 是减函数,则有 f(t) ≥ f(x)
代换后,积分是对 t 而言的,那么f(x)就是常数了
因此,不等式右边的积分就是 f(x)∫(a,x)dt = f(x)(x-a)
从而有 ∫(a,x)f(t)dt ≥ f(x)(x-a)
f(x)(x-a) - ∫(a,x)f(t)dt ≤ 0
然后
F'(x) = {(x-a)[∫(a,x)f(t)dt]' -(x-a)'∫(a,x)f(t)dt}/(x-a)^2 = [f(x)(x-a) - ∫(a,x)f(t)dt ]/(x-a)^2 ≤ 0
再问： 为什么t的范围是a ≤ t ≤ x？ 定积分里面的东西不是只是符号而已么
再答： 你要看清楚积分号里面的a是f(x)的定义域的下限了，因此，x必然是上限，而且题目很清楚的说了 x∈（a ，b），说明x肯定是大于a的，因此，这个定积分肯定是正向的积分，a ≤ t ≤ x必然成立
代换后,积分是对 t 而言的,那么f(x)就是常数了
因此,不等式右边的积分就是 f(x)∫(a,x)dt = f(x)(x-a)
从而有 ∫(a,x)f(t)dt ≥ f(x)(x-a)
f(x)(x-a) - ∫(a,x)f(t)dt ≤ 0
然后
F'(x) = {(x-a)[∫(a,x)f(t)dt]' -(x-a)'∫(a,x)f(t)dt}/(x-a)^2 = [f(x)(x-a) - ∫(a,x)f(t)dt ]/(x-a)^2 ≤ 0
再问： 为什么t的范围是a ≤ t ≤ x？ 定积分里面的东西不是只是符号而已么
再答： 你要看清楚积分号里面的a是f(x)的定义域的下限了，因此，x必然是上限，而且题目很清楚的说了 x∈（a ，b），说明x肯定是大于a的，因此，这个定积分肯定是正向的积分，a ≤ t ≤ x必然成立