作业帮一道定积分的证明题 设f(x)在[-b,b]连续,证明：定积分[-b,0]f(x)dx=定积分[0,b]f(-x)dx
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/18 00:26:14
一道定积分的证明题 设f(x)在[-b,b]连续,证明：定积分[-b,0]f(x)dx=定积分[0,b]f(-x)dx
令y=-x;
[0,b]f(-x)dx=
-[0,b]f(-x)d(-x)=
[b,0]f(-x)d(-x)=
[b,0]f(y)dy=[-b,0]f(x)dx
最后一步利用一元函数积分不不变性.
再问： 不好意思，还有不懂，就是如果直接从题目上看，表示的几何意义是不是可以理解为一个函数图象在一个负的区间内的面积和一个以0为分界点的相同x距离的正区间内的面积相等呢？为什么不能这么理解？（如果这样理解，那不就说明函数关于y轴对称了吗？）
再答： 不能这么理解。如果非要加一个几何意义的话，在[a,b]区间内的积分 其实就是在这段定义域内对应的图形与x轴形成的正向面积-负向面积。 正向面积是指在x轴以上的那部分围成的面积，负向面积相反。这道 题目的难点，一个是换元，令y=-x ，这只是形式上的变化 ，但是变 元之后积分区间也要随着变化。比如以前是[-1,0],换元之后积分区间 变为[1,0] 。难点二在于一个公式的应用，即： ∫[a→b] f(x) dx=- ∫[b→a] f(x) dx 即：积分区间方向变换后，要在前面加一个负号。 难点三是一元函数的积分不变性。即：令y=-x后 ∫[- b→0] f(x) dx =-∫[b→0] f(- y) dy
[0,b]f(-x)dx=
-[0,b]f(-x)d(-x)=
[b,0]f(-x)d(-x)=
[b,0]f(y)dy=[-b,0]f(x)dx
最后一步利用一元函数积分不不变性.
再问： 不好意思，还有不懂，就是如果直接从题目上看，表示的几何意义是不是可以理解为一个函数图象在一个负的区间内的面积和一个以0为分界点的相同x距离的正区间内的面积相等呢？为什么不能这么理解？（如果这样理解，那不就说明函数关于y轴对称了吗？）
再答： 不能这么理解。如果非要加一个几何意义的话，在[a,b]区间内的积分 其实就是在这段定义域内对应的图形与x轴形成的正向面积-负向面积。 正向面积是指在x轴以上的那部分围成的面积，负向面积相反。这道 题目的难点，一个是换元，令y=-x ，这只是形式上的变化 ，但是变 元之后积分区间也要随着变化。比如以前是[-1,0],换元之后积分区间 变为[1,0] 。难点二在于一个公式的应用，即： ∫[a→b] f(x) dx=- ∫[b→a] f(x) dx 即：积分区间方向变换后，要在前面加一个负号。 难点三是一元函数的积分不变性。即：令y=-x后 ∫[- b→0] f(x) dx =-∫[b→0] f(- y) dy
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