作业帮请问还有简便的方法吗?
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/05 03:07:21
请问还有简便的方法吗?
已知圆C：x^2+y^2+2x-4y+3=0.从圆C外一点P向圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求使|PM|最小的点P的坐标.
我利用的是向量的方法,令P（x,y）,M（-1+cosα,2+sinα）,利用MC和MP两个向量垂直,和|PM|=|PO|这两个条件联立,才得出P点轨迹为一直线l：x-2y+2=0.要求使|PM|最小的点P的坐标,即求求使|PO|最小的点P的坐标,所以为l和CO的交点,得出P的坐标.
可我觉得这办法好麻烦,计算量也很大,有没有更优的办法,
大家都回答得超好!郁闷的是我计算能力太差了,M（-1+√2cosα,2+√2sinα）,所以l的方程可能也错了……很多人直接说取得最小值时P在CO上,我不懂……
tracy1jordan 呵呵,你说得对,
dwtydwtyky 其中PC+PO<=CO （三角形）不等号方向错了……尤其感谢提醒我另外你上面的M的坐标,圆的半径是根号2~
Meteor_tx007 谢谢分享技巧~
韩增民松 想问下为什么能够依题意得出：满足|PM|=|PO|,且使|PM|最小的点P,至少有一点在OC上?感觉这是最关键的解题思路……
已知圆C：x^2+y^2+2x-4y+3=0.从圆C外一点P向圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求使|PM|最小的点P的坐标.
我利用的是向量的方法,令P（x,y）,M（-1+cosα,2+sinα）,利用MC和MP两个向量垂直,和|PM|=|PO|这两个条件联立,才得出P点轨迹为一直线l：x-2y+2=0.要求使|PM|最小的点P的坐标,即求求使|PO|最小的点P的坐标,所以为l和CO的交点,得出P的坐标.
可我觉得这办法好麻烦,计算量也很大,有没有更优的办法,
大家都回答得超好!郁闷的是我计算能力太差了,M（-1+√2cosα,2+√2sinα）,所以l的方程可能也错了……很多人直接说取得最小值时P在CO上,我不懂……
tracy1jordan 呵呵,你说得对,
dwtydwtyky 其中PC+PO<=CO （三角形）不等号方向错了……尤其感谢提醒我另外你上面的M的坐标,圆的半径是根号2~
Meteor_tx007 谢谢分享技巧~
韩增民松 想问下为什么能够依题意得出：满足|PM|=|PO|,且使|PM|最小的点P,至少有一点在OC上?感觉这是最关键的解题思路……
已知圆C：x^2+y^2+2x-4y+3=0.从圆C外一点P向圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求使|PM|最小的点P的坐标.
依题意,满足|PM|=|PO|,且使|PM|最小的点P,至少有一点在OC上
设P(x,y)
∵圆C：x^2+y^2+2x-4y+3=0==>(x+1)^2+(y-2)^2=2
OC方程y=-2x
设|PM|=|PO|=m
|PM|^2+2=(|OC|-|PO|)^2
即m^2+2=(√5-m)^2,解得m=3√5/10
则x^2+y^2=9/20==>5x^2=9/20==>x1=-3/10,x2=3/10(舍)
则P(-3/10,3/5)
回答补充提问：
圆外一点,到圆的切线有二条,且一点到二切点的距离相等,要使这个距离与｜PO｜相等,则二切点与原点O必共圆,而点P的位置不同,使得这个圆的半径就不同,哪一条半径最小呢?一定是二切点与原点成等边三角形的圆半径,由此满足|PM|=|PO|,且使|PM|最小的点P,不是至少而应该是一定在OC上.
依题意,满足|PM|=|PO|,且使|PM|最小的点P,至少有一点在OC上
设P(x,y)
∵圆C：x^2+y^2+2x-4y+3=0==>(x+1)^2+(y-2)^2=2
OC方程y=-2x
设|PM|=|PO|=m
|PM|^2+2=(|OC|-|PO|)^2
即m^2+2=(√5-m)^2,解得m=3√5/10
则x^2+y^2=9/20==>5x^2=9/20==>x1=-3/10,x2=3/10(舍)
则P(-3/10,3/5)
回答补充提问：
圆外一点,到圆的切线有二条,且一点到二切点的距离相等,要使这个距离与｜PO｜相等,则二切点与原点O必共圆,而点P的位置不同,使得这个圆的半径就不同,哪一条半径最小呢?一定是二切点与原点成等边三角形的圆半径,由此满足|PM|=|PO|,且使|PM|最小的点P,不是至少而应该是一定在OC上.