几道竞赛题1.设x,y,z,a,b,c为正实数,且xy+yz+zx=3.求证：a(y+z)/(b+c)+b(x+z)/(

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/14 04:24:40

几道竞赛题
1.设x,y,z,a,b,c为正实数,且xy+yz+zx=3.求证：
a(y+z)/(b+c)+b(x+z)/(a+c)+c(x+y)/(a+b)>=3
2.设X1,X2,X3,X4,X5为实数.求具有下列性质的最小正整数n：
若具有形式Xp+Xq+Xr(1

（全写下来太长了……需要补充什么你再提吧）
1、利用关于余切的三角恒等式,可设
x=√3 ctgA,y=√3 ctgB,z=√3 ctgC
其中A、B、C是某锐角三角形的内角.由排序不等式,不妨设A、B、C与a、b、c同序（此时左边会变小）.令
S=a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)
这时,利用余切函数在[0,pi/2]的凸性,
左边 >= 2√3*S*ctg(∑(S-a/(b+c))*A/2S) = 2√3*S*tg((a/(b+c))*A/2S)
再由排序不等式,tg内的变量不小于pi/6.而由凸性容易证明,S>=3/2,代入即得.
2、n=7.问题可作如下转化（对问题本身没有简化,只是叙述更方便）：现有一n行5列矩阵,每行由3个1和2个0组成,并且任意两行不相同.求最小的n,使得该矩阵必有一个5阶子（方）阵,其行列式非0.
容易发现,n>6.例子是有某列全为1的5行6列上述矩阵.对n=7,考察“1”出现最多的列.容易验证,该列有5个或6个1.分这两种情况进行讨论即可（考虑的5阶子阵应该包含所有该列为0的行）.
3、k=17/2.由排序不等式和平均值不等式容易证明
a^4+b^4+c^4 >= a^3+b^3+c^3 >= 3abc
所以不妨设a>c>b.然后用局部调整法,验证将(a,b,c)换成(c,1,2-c)时,
[a^4+b^4+c^4-3abc]/(a-b)(b-c)(c-a)
的值会减小.最后,转化成关于c的单变量函数求极值问题.将表达式写成(1-c)的有理函数之后就可以求出k=17/2.
4、[不会]
5、用辗转相除法容易证明(2^a-1,2^b-1) = 2^(a,b) - 1.于是
q|(2^p-1,2^(q-1)-1)=2^(p,q-1) - 1
但是(p,q-1)=1或p,于是只能
p|(q-1)
而显然q是奇数,所以q=2kp+1.

几道竞赛题1.设x,y,z,a,b,c为正实数,且xy+yz+zx=3.求证：a(y+z)/(b+c)+b(x+z)/( 实数a.b.c满足x+y+z=5,xy+yz+zx=3,求z的最大值已知x,y,z为整数,xy+yz+zx=0,a,b,c是不等于1的正数,且满足a^x=b^y=c^z=0,求证：abc= 已知x y z 为非零整数,且xy+yz+zx=0,又若a b c是不等于1的正数,满足a^x=b^y=c^z,求证ab 已知x，y，z是三个互不相同的非零实数，设a=x2+y2+z2，b=xy+yz+zx，c=1x 已知x、y、z为非零正整数,且xy+yz+zx=0,a、b、c是不等于1的正数,且满足a的x次方=b的y次方=c的z次方已知非零实数xyz满足xy=a,yz=b,zx=c,则x^2+y^2+z^2的值为已知：xy/(x+y)=a,xz/(x+z)=b,yz/(y+z)=c,且abc不等于0,求证:x=2abc/(bc+a 已知：xy/(x+y)=a,xz/(x+z)=b,yz/(y+z)=c,且abc不等于0,求证：x=2abc/(bc+a y^2+yz+z^2=a^2,z^2+zx+x^2=b^2,yz+zx+xy=0.证明:(a+b+c)(a+b-c)(a 设x,y,z为正实数,x+y+z=1.求证:yz/x+zx/y+xy/z+9xyz>=1+x^2+y^2+z^2 已知xyz是整数,xy+yz+zx=0,a,b.c是不等于一的正数,且满足a的x次方=b的y次方=c的z次方,求证,ab