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BD是等腰Rt△ABC的腰AC中线,AE⊥BD交BD、BC于E、F,求证:∠ADB=∠CDF

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/16 19:43:04
BD是等腰Rt△ABC的腰AC中线,AE⊥BD交BD、BC于E、F,求证:∠ADB=∠CDF
作CG垂直于BD的延长线于G
易证三角形AED与三角形CGD全等
所以 ED=DG
因为 ∠AED = 90度 =∠BEA ;
∠ADE = 90度 - ∠BAD = ∠BAE,
所以三角形AED与三角形BEA相似
所以 ED/AE = AE/BE = AD/BA = AD/AC = 1/2
所以 ED/BE = 1/4
所以 BE/BG = BE/(BE+ED+DG) = BE/(BE+2ED) = 2/3
因为 AF//CD,所以三角形BEF与三角形BGC相似
所以 BF/BC = BE/BG = 2/3
所以 BF/FC = BF/(BC-BF) = 2/1
因为 AB/DC = 2/1 = BF/FC
而 ∠ABF = ∠DCF = 45度,
所以三角形ABF与三角形DCF相似
所以 ∠BAF = ∠CDF
又因为∠ADB = 90度 - ∠BAD = ∠BAF,
所以 ∠ADB = ∠CDF