作业帮求幂级数的 收敛半径 收敛域与和函数~
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/22 08:24:45
求幂级数的 收敛半径 收敛域与和函数~
∑(∞,n=1)[3^n+(-2)^n]/n 乘x^n
∑(∞,n=1)[3^n+(-2)^n]/n 乘x^n
=∑(n=1,∞)[3x^n+(-2x)^n]/n
求导得：
∑(n=1,∞)[3(3x)^(n-1)+(-2)(-2x)^(n-1)]
=3/(1-3x)-2/(1+2x)
收敛半径R=1/3.x=1/3发散,x=-1/3收敛
对3/(1-3x)-2/(1+2x)积分可得和函数
再问： 非常感谢，求和看懂了，请问“收敛半径R=1/3. x=1/3发散，x=-1/3收敛”是怎么求的呢？为什么 x=1/3发散，x=-1/3收敛？
再答： (-2x)^n]/n对x=1/3 -1/3都收敛 (3x)^n/3 x=1/3时是级数1/n 发散 x=-1/3时是级数(-1)^n/n 收敛
再问： 不好意思，还有最后一个问题，收敛半径1/3是怎么求的？是用lim|an+1/an| 算吗？（n趋向正无穷） 我没有化简出来
再答： 幂级数和的收敛半径取1/2 1/3最小者
求导得：
∑(n=1,∞)[3(3x)^(n-1)+(-2)(-2x)^(n-1)]
=3/(1-3x)-2/(1+2x)
收敛半径R=1/3.x=1/3发散,x=-1/3收敛
对3/(1-3x)-2/(1+2x)积分可得和函数
再问： 非常感谢，求和看懂了，请问“收敛半径R=1/3. x=1/3发散，x=-1/3收敛”是怎么求的呢？为什么 x=1/3发散，x=-1/3收敛？
再答： (-2x)^n]/n对x=1/3 -1/3都收敛 (3x)^n/3 x=1/3时是级数1/n 发散 x=-1/3时是级数(-1)^n/n 收敛
再问： 不好意思，还有最后一个问题，收敛半径1/3是怎么求的？是用lim|an+1/an| 算吗？（n趋向正无穷） 我没有化简出来
再答： 幂级数和的收敛半径取1/2 1/3最小者